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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Di 28.09.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Man entscheide, ob folgende Optimierungsaufgabe lösbar ist und ermittle gegebenenfalls ihre Lösung durch Ausnutzung der KKT(Karush-Kuhn-Tucker)-Bedingung
max [mm] x_1^2 [/mm] - [mm] 4x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm]
UdN:
[mm] x_1+x_2 [/mm] <=1
[mm] -x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] <=1
[mm] -x_2 [/mm] <=0 |
hi zusammen,
so mein ansatz lautet:
[mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] x_1^2 [/mm] - [mm] 4x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] \lambda_1 (x_1+x_2-1) [/mm] + [mm] \lambda_2 (-x_1+x_2-1) [/mm]
dann ableiten nach [mm] x_1, x_2, \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] 2x_1 [/mm] - 4 + [mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
-1 + [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] -1 = 0
[mm] -x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] -1 = 0
wenn ich nun gl 3 und 4 zusammenzähle bekomme ich [mm] 2x_2 [/mm] = 2 => [mm] x_2 [/mm] = 1
dies nun einsetzen in Gleichung 3 liefert [mm] x_1 [/mm] = 0.
Für die lambdas bekomme ich [mm] \lambda_1 [/mm] = 2,5 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -1,5
stimmt das ? wäre nett wenn jemand drüberschaut und falls fehler vorhanden sind darauf hinweißt
lg
meep
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Hallo meep,
ich habe mir zur Aufgabe eine simple Skizze (erlaubter Bereich)
und eine kleine Rechnung gemacht.
Sie sagt mir, dass die Funktion ihren maximalen Wert in einer
Ecke des dreiecksförmigen erlaubten Bereichs annehmen müsste,
nämlich in $\ [mm] A(x_1=-1\ [/mm] |\ [mm] x_2=0)$ [/mm] annehmen müsste. Maximalwert = 5
Die KKT-Bedingung ist mir übrigens ein Fremdwort ...
LG Al-Chw.
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