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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Do 17.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe hier ein Lemma, dessen Aussage ich verstehe ( denke ich zumindest) , aber bei dem kurzen Beweis habe ich leider viele Schwierigkeiten :-(.
Lemma :
Sind S, T Optionszeiten bzgl. desselben Filtration [mm] ( \mathcal F_n)_{n \in \mathbb N } [/mm] in [mm] \Omega [/mm], so gilt:
Aus [mm] S \le T \Rightarrow \mathcal F_s \subset \mathcal F_t \subset \mathcal F_{ \infty } [/mm]
Also, wenn ich das richtig verstanden habe, sagt der Satz aus, dass die verfügbare Information zum Zeitverlauf steigt, richtig???
Beweis
Wegen [mm] S \le T [/mm] gilt [mm] \{ T \le n \} \subset \{ S \le n \}. [/mm]
Muss da nicht [mm] \supset [/mm] stehen???
Und damit folgt,
[mm] A \cap \{ T \le n \} = A \cap \{ S \le n \} \cap \{ T \le n \} [/mm]
für [mm] n ßin \mathbb N, \ A \subset \Omega [/mm].
Warum macht man diesen Ansatz ?
Diese folgenden Zeilen versteh ich gar nicht :-( .
Aus [mm] A \in \mathcal F_S [/mm] folgt dann auch [mm] A \in \mathcal F_T
[/mm], da [mm] A \in \mathcal F_{\infty}, \ A \cap \{ S \le n \} \in \mathcal F_n, [/mm] und [mm] \{ T \le n \} \in \mathcal F_n [/mm] gilt.
Warum ist [mm] A \in \mathcal F_{\infty} [/mm] ?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 17.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Sind S, T Optionszeiten bzgl. desselben Filtration [mm]( \mathcal F_n)_{n \in \mathbb N }[/mm]
> in [mm]\Omega [/mm], so gilt:
>
> Aus [mm]S \le T \Rightarrow \mathcal F_s \subset \mathcal F_t \subset \mathcal F_{ \infty }[/mm]
Wenn [mm] \mathcal{F}_t [/mm] eine Filtration ist, gilt doch immer [mm]\mathcal F_s \subset \mathcal F_t[/mm] für s<t per Definition, oder? Muss da nicht [mm] \mathcal F_T [/mm] und [mm] \mathcal F_S [/mm] stehen?
> Also, wenn ich das richtig verstanden habe, sagt der Satz
> aus, dass die verfügbare Information zum Zeitverlauf
> steigt, richtig???
Die Information zur Stopzeit.
> Wegen [mm]S \le T[/mm] gilt [mm]\{ T \le n \} \subset \{ S \le n \}.[/mm]
>
> Muss da nicht [mm]\supset[/mm] stehen???
Wenn [mm] \omega\in\{ T \le n \}, [/mm] gilt [mm] S(\omega)\le T(\omega)\le [/mm] n
>
> Und damit folgt,
>
> [mm]A \cap \{ T \le n \} = A \cap \{ S \le n \} \cap \{ T \le n \}[/mm]
>
> für [mm]n ßin \mathbb N, \ A \subset \Omega [/mm].
>
> Warum macht man diesen Ansatz ?
Wie ist [mm] \mathcal{F}_T [/mm] definiert?
>
> Diese folgenden Zeilen versteh ich gar nicht :-( .
> Aus [mm]A \in \mathcal F_S[/mm] folgt dann auch [mm]A \in \mathcal F_T
[/mm],
> da [mm]A \in \mathcal F_{\infty}, \ A \cap \{ S \le n \} \in \mathcal F_n,[/mm]
> und [mm]\{ T \le n \} \in \mathcal F_n[/mm] gilt.
Im wesentlichen läuft es auf [mm] A\cap\{S\le n\}\cap\{T\le n\}=A\cap\{T\le n\}
[/mm]
hinaus, da [mm] \{T\le n\}\subset \{S\le n\}. [/mm] Es ist [mm] A\cap\{S\le n\}\in \mathcal{F}_n [/mm] und [mm] \{T\le n\}\in\mathcal{F}_n.
[/mm]
>
> Warum ist [mm]A \in \mathcal F_{\infty}[/mm] ?
>
Wie ist [mm] \mathcal F_{\infty} [/mm] definiert?
LG
gfm
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