"Orangenkauf" - bedingte Wkt. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Fr 18.02.2005 | | Autor: | accolon |
Ich muss momentan etwas Stochastik lernen und versuche, in das Thema einzusteigen. Ich würde mich freuen, wenn jemand meine Lösungen für die folgende Aufgabe kontrollieren und Verbesserungsvorschläge geben könnte:
Auf einem Marktplatz bieten drei nebeneinander stehende Verkäufer
Orangen an.
Horst geht nacheinander zu den drei Ständen und schaut sich jeweils eine zufällig ausgewählte Orange näher an. Er will an dem ersten der drei Stände N Orangen kaufen, an dem die ausgewählte Probe-Orange keinen Mangel zeigt. Haben alle geprüften Orangen einen Mangel, möchte er gar nicht kaufen.
Die Körbe an den Ständen sind wie folgt bestückt:
Stand i: [mm] A_i [/mm] Orangen, davon [mm] E_i [/mm] einwandfrei und [mm] M_i [/mm] mangelhaft (i = 1..3)
Geben Sie die Antworten auf folgende Fragen als Formeln an:
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Horst keine Orangen kaufen?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kauft er am zweiten Stand?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kauft er 10 Orangen und wird darunter später 4 mangelhafte Orangen finden? (Der Händler wählt die Orangen beim Kauf zufällig aus.)
Meine Lösungen:
Allgemein gilt P(Mangel an Stand i) = [mm] \bruch{M_i}{A_i}.
[/mm]
a)
Gesucht ist, dass die Orange an jedem Stand mangelhaft ist.
=> [mm] \bruch{M_1}{A_1} [/mm] * [mm] \bruch{M_2}{A_2} [/mm] * [mm] \bruch{M_3}{A_3}
[/mm]
b)
Er muss erst eine mangelhafte, dann eine gute erwischen.
P(gut an S2 | Mangel an S1) = [mm] \bruch{P(gut an S2 \cap Mangel an S1)}{P(Mangel an S1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{P(gut an S2) * P(Mangel an S1)}{P(Mangel an S1)} [/mm] = P(gut an S2)
Das kommt mir irgendwie zu einfach vor; unabhängig sind die Werte aber schon, oder liege ich da falsch?
c)
Hier habe ich noch etwas Probleme.
Ich denke, dass der Stand egal ist, er wirkt sich ja nur auf die konkreten Zahlen aus. Man zieht 10 Orangen aus [mm] A_i, [/mm] das sind [mm] A_i\choose10 [/mm] Möglichkeiten. Davon sollen 4 mangelhaft sein, die Wkt. für einen Mangel hab ich schon oben geschrieben. Wie bringe ich diese Informationen zusammen, um die Aufgabe zu lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Thomie |
> Ich muss momentan etwas Stochastik lernen und versuche, in
> das Thema einzusteigen. Ich würde mich freuen, wenn jemand
> meine Lösungen für die folgende Aufgabe kontrollieren und
> Verbesserungsvorschläge geben könnte:
>
> Auf einem Marktplatz bieten drei nebeneinander stehende
> Verkäufer
> Orangen an.
>
> Horst geht nacheinander zu den drei Ständen und schaut sich
> jeweils eine zufällig ausgewählte Orange näher an. Er will
> an dem ersten der drei Stände N Orangen kaufen, an dem die
> ausgewählte Probe-Orange keinen Mangel zeigt. Haben alle
> geprüften Orangen einen Mangel, möchte er gar nicht kaufen.
>
>
> Die Körbe an den Ständen sind wie folgt bestückt:
> Stand i: [mm]A_i[/mm] Orangen, davon [mm]E_i[/mm] einwandfrei und [mm]M_i[/mm]
> mangelhaft (i = 1..3)
>
>
> Geben Sie die Antworten auf folgende Fragen als Formeln
> an:
>
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Horst keine Orangen
> kaufen?
> b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kauft er am zweiten
> Stand?
> c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kauft er 10 Orangen und
> wird darunter später 4 mangelhafte Orangen finden? (Der
> Händler wählt die Orangen beim Kauf zufällig aus.)
>
>
> Meine Lösungen:
>
> Allgemein gilt P(Mangel an Stand i) = [mm]\bruch{M_i}{A_i}.
[/mm]
>
> a)
> Gesucht ist, dass die Orange an jedem Stand mangelhaft
> ist.
> => [mm]\bruch{M_1}{A_1}[/mm] * [mm]\bruch{M_2}{A_2}[/mm] *
> [mm]\bruch{M_3}{A_3}
[/mm]
>
genau richtig
> b)
> Er muss erst eine mangelhafte, dann eine gute erwischen.
> P(gut an S2 | Mangel an S1) = [mm]\bruch{P(gut an S2 \cap Mangel an S1)}{P(Mangel an S1)}
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{P(gut an S2) * P(Mangel an S1)}{P(Mangel an S1)}[/mm] =
> P(gut an S2)
>
> Das kommt mir irgendwie zu einfach vor; unabhängig sind die
> Werte aber schon, oder liege ich da falsch?
>
leider liegst du hier komplett falsch, grundsätzlich bedeutet [mm]P(A|B)[/mm], dass A eintritt, unter der Vorraussetzung, dass Beingetreten ist (A,B Ereignisse). In diesem Fall interessiert es dich aber, wie wahrscheinlich es ist, dass 1. Horst am Stand 1 nichts kauft, und 2. Er am Stand 2 kauft, wobei dort die erste Orange gut aussehen muss.
> c)
> Hier habe ich noch etwas Probleme.
>
> Ich denke, dass der Stand egal ist, er wirkt sich ja nur
> auf die konkreten Zahlen aus. Man zieht 10 Orangen aus [mm]A_i,[/mm]
> das sind [mm]A_i\choose10[/mm] Möglichkeiten. Davon sollen 4
> mangelhaft sein, die Wkt. für einen Mangel hab ich schon
> oben geschrieben. Wie bringe ich diese Informationen
> zusammen, um die Aufgabe zu lösen?
>
Nun, so schwierig ist es nun auch wieder nicht: Zerlege die Wahrscheinlichkeit erst einmal über (disjunkte!) Teilereignisse, die aussagen, an welchem Stand Horst seine Orangen kauft.
Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass am Stand i 4 von 10 Orangen angefault sind.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 19.02.2005 | | Autor: | accolon |
Hallo Thomie, vielen Dank für deine Antwort.
> > b)
> > Er muss erst eine mangelhafte, dann eine gute erwischen.
> > P(gut an S2 | Mangel an S1) = [mm]\bruch{P(gut an S2 \cap Mangel an S1)}{P(Mangel an S1)}
[/mm]
> > = [mm]\bruch{P(gut an S2) * P(Mangel an S1)}{P(Mangel an S1)}[/mm] = P(gut an S2)
> >
> > Das kommt mir irgendwie zu einfach vor; unabhängig sind die
> > Werte aber schon, oder liege ich da falsch?
> >
> leider liegst du hier komplett falsch, grundsätzlich
> bedeutet [mm]P(A|B)[/mm], dass A eintritt, unter der Vorraussetzung,
> dass Beingetreten ist (A,B Ereignisse). In diesem Fall
> interessiert es dich aber, wie wahrscheinlich es ist, dass
> 1. Horst am Stand 1 nichts kauft, und 2. Er am Stand 2
> kauft, wobei dort die erste Orange gut aussehen muss.
Hmm. Er geht die Stände doch der Reihe nach ab.
Ist denn dann nicht die Wkt. dafür, daß er an Stand 1 nichts kauft gleich der Wkt. dafür, daß die Probe-Orange von Stand 1 einen Mangel hat?
Genauso ist dann doch die Wkt. für einen Kauf an Stand 2 gleich [mm](1 - \bruch{M_i}{A_i})[/mm] bzw. die Wkt. hier als erstes eine gute Orange zu erwischen.
Ich dachte jetzt, dass dann die Gesamtwkt. eben die ist, dass er an Stand 2 eine gute erwischt unter der Voraussetzung, dass er an Stand 1 eine schlechte hatte.
Wo liegt da mein Denkfehler, was wäre richtig? Vielleicht sehe ich so, wie man an so ein Problem herangeht.
> > c)
> > Hier habe ich noch etwas Probleme.
> >
> > Ich denke, dass der Stand egal ist, er wirkt sich ja nur
> > auf die konkreten Zahlen aus. Man zieht 10 Orangen aus [mm]A_i,[/mm]
> > das sind [mm]A_i\choose10[/mm] Möglichkeiten. Davon sollen 4
> > mangelhaft sein, die Wkt. für einen Mangel hab ich schon
> > oben geschrieben. Wie bringe ich diese Informationen
> > zusammen, um die Aufgabe zu lösen?
> >
>
> Nun, so schwierig ist es nun auch wieder nicht: Zerlege die
> Wahrscheinlichkeit erst einmal über (disjunkte!)
> Teilereignisse, die aussagen, an welchem Stand Horst seine
> Orangen kauft.
> Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass am
> Stand i 4 von 10 Orangen angefault sind.
Ich glaube, hier komme ich erst weiter, wenn ich b) gelöst habe... Kann gut sein, dass das für jemanden mit etwas Erfahrung absolut trivial erscheint, aber ich hatte bisher mit Stochastik so gut wie keinen Kontakt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 So 20.02.2005 | | Autor: | Thomie |
> Hallo Thomie, vielen Dank für deine Antwort.
>
> > > b)
> > > Er muss erst eine mangelhafte, dann eine gute
> erwischen.
> > > P(gut an S2 | Mangel an S1) = [mm]\bruch{P(gut an S2 \cap Mangel an S1)}{P(Mangel an S1)}
[/mm]
>
> > > = [mm]\bruch{P(gut an S2) * P(Mangel an S1)}{P(Mangel an S1)}[/mm]
> = P(gut an S2)
> > >
> > > Das kommt mir irgendwie zu einfach vor; unabhängig sind
> die
> > > Werte aber schon, oder liege ich da falsch?
> > >
> > leider liegst du hier komplett falsch, grundsätzlich
> > bedeutet [mm]P(A|B)[/mm], dass A eintritt, unter der
> Vorraussetzung,
> > dass Beingetreten ist (A,B Ereignisse). In diesem Fall
>
> > interessiert es dich aber, wie wahrscheinlich es ist,
> dass
> > 1. Horst am Stand 1 nichts kauft, und 2. Er am Stand 2
>
> > kauft, wobei dort die erste Orange gut aussehen muss.
>
> Hmm. Er geht die Stände doch der Reihe nach ab.
> Ist denn dann nicht die Wkt. dafür, daß er an Stand 1
> nichts kauft gleich der Wkt. dafür, daß die Probe-Orange
> von Stand 1 einen Mangel hat?
>
> Genauso ist dann doch die Wkt. für einen Kauf an Stand 2
> gleich [mm](1 - \bruch{M_i}{A_i})[/mm] bzw. die Wkt. hier als erstes
> eine gute Orange zu erwischen.
>
> Ich dachte jetzt, dass dann die Gesamtwkt. eben die ist,
> dass er an Stand 2 eine gute erwischt unter der
> Voraussetzung, dass er an Stand 1 eine schlechte hatte.
>
> Wo liegt da mein Denkfehler, was wäre richtig? Vielleicht
> sehe ich so, wie man an so ein Problem herangeht.
>
Stell dir mal vor, am ersten Stand sind alle Orangen gut.
Dann ist die W'keit, dass Horst am zweiten Stand kauft, trivialerweise =0, da er ja sofort sieht: "Der Stand hier ist gut, den nehm ich".
Ich nenne [mm]G_i, i=1,2,3[/mm] mal das Ereignis, dass die erste Orange an Stand [mm]i[/mm] gut ist. [mm]G_2[/mm] ist dann nicht das gesuchte Ereignis, denn das gesuchte Ereignis ist ja [mm]G_1^c\cap G_2[/mm]
Der Rest ist dann relativ einfach, ich hoffe, soweit hast du es verstanden
> > > c)
> > > Hier habe ich noch etwas Probleme.
> > >
> > > Ich denke, dass der Stand egal ist, er wirkt sich ja
> nur
> > > auf die konkreten Zahlen aus. Man zieht 10 Orangen aus
> [mm]A_i,[/mm]
> > > das sind [mm]A_i\choose10[/mm] Möglichkeiten. Davon sollen 4
> > > mangelhaft sein, die Wkt. für einen Mangel hab ich
> schon
> > > oben geschrieben. Wie bringe ich diese Informationen
>
> > > zusammen, um die Aufgabe zu lösen?
> > >
> >
> > Nun, so schwierig ist es nun auch wieder nicht: Zerlege
> die
> > Wahrscheinlichkeit erst einmal über (disjunkte!)
> > Teilereignisse, die aussagen, an welchem Stand Horst
> seine
> > Orangen kauft.
> > Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass am
>
> > Stand i 4 von 10 Orangen angefault sind.
>
> Ich glaube, hier komme ich erst weiter, wenn ich b) gelöst
> habe... Kann gut sein, dass das für jemanden mit etwas
> Erfahrung absolut trivial erscheint, aber ich hatte bisher
> mit Stochastik so gut wie keinen Kontakt.
>
Trivial ist das sicher nicht, aber ich denke, wenn Du mit Teil b) weitergekommen bist, kannst Du da vllt besser drüber nachdenken.
Sonst frag einfach nochmal nach
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 20.02.2005 | | Autor: | accolon |
Hi!
> Stell dir mal vor, am ersten Stand sind alle Orangen gut.
> Dann ist die W'keit, dass Horst am zweiten Stand kauft,
> trivialerweise =0, da er ja sofort sieht: "Der Stand hier
> ist gut, den nehm ich".
>
> Ich nenne [mm]G_i, i=1,2,3[/mm] mal das Ereignis, dass die erste
> Orange an Stand [mm]i[/mm] gut ist. [mm]G_2[/mm] ist dann nicht das gesuchte
> Ereignis, denn das gesuchte Ereignis ist ja [mm]G_1^c\cap G_2[/mm]
Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{M_1}{A_1} \bruch{E_2}{A_2}[/mm] ?
Das funktioniert für die Beispiele, die ich mir angesehen habe. Sind alle Orangen an Stand 1 schlecht, so kauft er mit der Wahrscheinlichkeit von Stand 2 an eben diesem Stand, sind alle an Stand 1 gut, ist die Wkt. für den Kauf an Stand 2 Null. Wenn alle Orangen an Stand 2 schlecht sind, ist sie auch Null.
Das habe ich hoffentlich verstanden, ich muss aber meine Denkweise ganz schön umstellen, glaube ich.
> > > > c)
> > > > Hier habe ich noch etwas Probleme.
> > > >
> > > > Ich denke, dass der Stand egal ist, er wirkt sich ja nur
> > > > auf die konkreten Zahlen aus. Man zieht 10 Orangen aus [mm]A_i[/mm],
> > > > das sind [mm]A_i\choose10[/mm] Möglichkeiten. Davon sollen 4
> > > > mangelhaft sein, die Wkt. für einen Mangel hab ich schon
> > > > oben geschrieben. Wie bringe ich diese Informationen zusammen, um die
> > > > Aufgabe zu lösen?
> > >
> > > Nun, so schwierig ist es nun auch wieder nicht: Zerlege die
> > > Wahrscheinlichkeit erst einmal über (disjunkte!)
> > > Teilereignisse, die aussagen, an welchem Stand Horst seine
> > > Orangen kauft.
> > > Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass am
> > > Stand i 4 von 10 Orangen angefault sind.
Wenn ich den Gedankengang von oben fortsetze, dann sind die Wkt. für den Kauf an den Ständen:
Stand 1: [mm] \bruch{E_1}{A_1}
[/mm]
Stand 2: [mm] \bruch{M_1}{A_1} \bruch{E_2}{A_2}
[/mm]
Stand 3: [mm] \bruch{M_1}{A_1} \bruch{M_2}{A_2} \bruch{E_3}{A_3}
[/mm]
Was ist dann die Wkt., an einem bestimmten Stand zu kaufen? Das will mir nicht einleuchten.
An Stand i ziehe ich aus den [mm] A_i [/mm] Orangen 10 Stück, weil ich beim Kauf ja alle an einem Stand kaufe.
Ist das denn schon richtig, dass ich hierfür [mm]A_i\choose10[/mm] Möglichkeiten hab? Was ist denn eigentlich, wenn ich mir den Stand i aussuche und der hat weniger als 10 Orangen? Das geht ja nicht, setze ich das deshalb bei dieser Aufgabe voraus?
Wenn das mal jemand konkret konstruieren könnte, würde mir das vielleicht beim Verständnis helfen. Ähnliche Aufgaben zur Übung hab ich noch reichlich, aber ohne es einmal verstanden zu haben nützt mir das nichts.
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