Ord(Gruppe) = 99 --> abelsch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass jede Gruppe G der Ordnung 99 abelsch ist.
Geben Sie bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 99 an. |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe komme ich beim ersten Teil nicht weiter.
Es ist $|G| = 99 = [mm] 3^2*11$.
[/mm]
Ich dachte, man könnte die Sylow-Sätze benutzen, aber ich kenne keine wirklichen Kriterien außer dass die Ordnung einer Gruppe p oder [mm] p^2 [/mm] ist, um "Abelsch-heit" zu folgern.
Gibt es da noch Möglichkeiten mit Hilfe der Bahnengleichung bzw. Zentrum?
-------
Meine Versuche mit Sylow:
[mm] $n_3 [/mm] | 11, [mm] n_3 \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 3$, es kommt also nur [mm] $n_3 [/mm] = 1$ in Frage. Das heißt, es gibt nur eine 3-Sylow-Untergruppe von G. Die 3-Sylow-Untergruppe ist also ein Normalteiler von G.
$n_11 | 3, n_11 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 11$, also $n_11 = 1$ und auch die 11-Sylowuntergruppe von G ist ein Normalteiler.
Was kann ich daraus jetzt schlussfolgern?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Stephan!
> Zeigen Sie, dass jede Gruppe G der Ordnung 99 abelsch ist.
> Geben Sie bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 99
> an.
>
> Bei dieser Aufgabe komme ich beim ersten Teil nicht
> weiter.
> Es ist [mm]|G| = 99 = 3^2*11[/mm].
>
> Ich dachte, man könnte die Sylow-Sätze benutzen, aber ich
> kenne keine wirklichen Kriterien außer dass die Ordnung
> einer Gruppe p oder [mm]p^2[/mm] ist, um "Abelsch-heit" zu folgern.
> Gibt es da noch Möglichkeiten mit Hilfe der
> Bahnengleichung bzw. Zentrum?
Die einfachste Moeglichkeit ist zu zeigen, dass $G$ das direkte Produkt von den Sylow-Untergruppen ist. Wenn die Sylow-Untergruppen alle abelsch sind, ist auch das Produkt und somit $G$ abelsch.
Bedingung dafuer ist, dass alle Sylow-Untergruppen Normalteiler sind.
> -------
>
> Meine Versuche mit Sylow:
> [mm]n_3 | 11, n_3 \equiv 1 \mod 3[/mm], es kommt also nur [mm]n_3 = 1[/mm]
> in Frage. Das heißt, es gibt nur eine 3-Sylow-Untergruppe
> von G. Die 3-Sylow-Untergruppe ist also ein Normalteiler
> von G.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]n_11 | 3, n_11 \equiv 1 \mod 11[/mm], also [mm]n_11 = 1[/mm] und auch die
> 11-Sylowuntergruppe von G ist ein Normalteiler.
Naja, du hast [mm] $n_{11} \mid [/mm] 9$ und nicht 3. Aber $9 [mm] \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{11}$, [/mm] also ist [mm] $n_{11} [/mm] = 1$.
> Was kann ich daraus jetzt schlussfolgern?
Jetzt kannst du schlussfolgern, dass $G = [mm] S_3 S_{11} \cong S_3 \times S_{11}$ [/mm] ist.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
> > Zeigen Sie, dass jede Gruppe G der Ordnung 99 abelsch ist.
> Die einfachste Moeglichkeit ist zu zeigen, dass [mm]G[/mm] das
> direkte Produkt von den Sylow-Untergruppen ist. Wenn die
> Sylow-Untergruppen alle abelsch sind, ist auch das Produkt
> und somit [mm]G[/mm] abelsch.
>
> Bedingung dafuer ist, dass alle Sylow-Untergruppen
> Normalteiler sind.
Ich würde das gern genauer verstehen. Ich kenne mich da nicht so aus, deswegen die elementaren Fragen:
Die Schritte wären dann: Gruppe hat genau eine 3-Sylowuntergruppe und genau eine 11-Sylowuntergruppe, das sind beides Normalteiler. Außerdem sind sie als Gruppe der Ordnung p und [mm] p^2 [/mm] (p prim) abelsch.
Wie zeige ich, dass $G$ das direkte Produkt der beiden Sylowuntergruppen ist?
Gilt allgemein, dass wenn $G = A [mm] \times [/mm] B$ und $A$ und $B$ abelsch, dass dann auch $G$ abelsch ist? Oder welche Voraussetzungen müssen da erfüllt sein?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Die einfachste Moeglichkeit ist zu zeigen, dass [mm]G[/mm] das
> > direkte Produkt von den Sylow-Untergruppen ist. Wenn die
> > Sylow-Untergruppen alle abelsch sind, ist auch das Produkt
> > und somit [mm]G[/mm] abelsch.
> >
> > Bedingung dafuer ist, dass alle Sylow-Untergruppen
> > Normalteiler sind.
>
> Ich würde das gern genauer verstehen. Ich kenne mich da
> nicht so aus, deswegen die elementaren Fragen:
>
> Die Schritte wären dann: Gruppe hat genau eine
> 3-Sylowuntergruppe und genau eine 11-Sylowuntergruppe, das
> sind beides Normalteiler. Außerdem sind sie als Gruppe der
> Ordnung p und [mm]p^2[/mm] (p prim) abelsch.
Nennen wir die Sylowuntergruppen mal [mm] $S_3$ [/mm] und [mm] $S_{11}$.
[/mm]
Es gilt [mm] $S_3 \cap S_{11} [/mm] = [mm] \{ e \}$ [/mm] (warum?).
Aus [mm] $S_3, S_{11}$ [/mm] Normalteiler und [mm] $S_3 \cap S_{11} [/mm] = [mm] \{ 1 \}$ [/mm] folgt, dass die Untergruppe [mm] $S_3 \cdot S_{11}$ [/mm] von $G$ isomorph zu [mm] $S_3 \times S_{11}$ [/mm] ist. (Das ist evtl. ein Satz in der Vorlesung? Ansonsten zeige, dass [mm] $S_3 S_{11} [/mm] = [mm] S_{11} S_3$ [/mm] ist, und dass [mm] $S_3 \times S_{11} \to S_3 S_{11}$ [/mm] ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.)
Jetzt hat [mm] $S_3 \times S_{11}$ [/mm] genauso viele Elemente wie $G$, womit [mm] $S_3 S_{11}$ [/mm] (was wegen der Isomorphie genauso viele Elemente wie [mm] $S_3 \times S_{11}$ [/mm] hat) schon ganz $G$ sein muss.
Damit folgt $G = [mm] S_3 S_{11} \cong S_3 \times S_{11}$.
[/mm]
> Gilt allgemein, dass wenn [mm]G = A \times B[/mm] und [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm]
> abelsch, dass dann auch [mm]G[/mm] abelsch ist?
Ja. (Rechne es doch kurz nach, es ist wirklich sehr einfach :) )
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine Mühe!
> Nennen wir die Sylowuntergruppen mal [mm]S_3[/mm] und [mm]S_{11}[/mm].
>
> Es gilt [mm]S_3 \cap S_{11} = \{ e \}[/mm] (warum?).
Da [mm] $|S_{11}| [/mm] = 11$ folgt nach dem Satz von Lagrange, dass jedes Element entweder Ordnung 1 oder 11 hat. Da neutrales Element eindeutig, haben alle anderen Elemente Ordnung 11.
Die Elemente von [mm] $S_3$ [/mm] außer des neutrales Elements haben jedoch eine Ordnung, welche $9 = [mm] |S_3|$ [/mm] teilt.
> Aus [mm]S_3, S_{11}[/mm] Normalteiler und [mm]S_3 \cap S_{11} = \{ 1 \}[/mm]
> folgt, dass die Untergruppe [mm]S_3 \cdot S_{11}[/mm] von [mm]G[/mm] isomorph
> zu [mm]S_3 \times S_{11}[/mm] ist. (Das ist evtl. ein Satz in der
> Vorlesung?
Nein, das hatten wir nicht. Ich probiere mal das mit deiner Anleitung zu zeigen:
> Ansonsten zeige, dass [mm]S_3 S_{11} = S_{11} S_3[/mm]
> ist, und dass [mm]S_3 \times S_{11} \to S_3 S_{11}[/mm] ein
> injektiver Gruppenhomomorphismus ist.)
Folgt das mit [mm] $S_3 S_{11} [/mm] = [mm] S_{11} S_3$ [/mm] nicht sofort aus der Normalteiler-Eigenschaft der Sylowuntergruppen?
Für das andere definiere ich:
[mm] $\phi:S_3\times S_{11} \to S_3 S_{11}: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x*y$.
Gruppenhomomorphimus: [mm] $\phi( (x_1,y_1) [/mm] * [mm] (x_2,y_2) [/mm] ) = [mm] \phi( (x_1 \cdot x_2, y_1 \cdot y_2) [/mm] ) = [mm] (x_1 \cdot x_2) [/mm] * [mm] (y_1 [/mm] * [mm] y_2) [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] * [mm] y_1) [/mm] * [mm] (x_2 [/mm] * [mm] y_2) [/mm] ) = [mm] \phi((x_1,y_1)) [/mm] * [mm] \phi((x_2, y_2))$
[/mm]
Dabei habe ich insbesondere ausgenutzt, dass die Sylowgruppen kommutativ sind (das folgt daraus, dass die Primzahl- oder Primzahlquadratordnung besitzen, oder? Wenn ich also zum Beispiel eine Sylow-Gruppe der Ordnung [mm] p^3 [/mm] hätte, hätte ich mit dieser Argumentation Probleme?); und dass die Multiplikation in der durch das direkte Produkt entstandenen Gruppe komponentenweise definiert ist.
Injektiv: Sei [mm] $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ [/mm] mit [mm] $\phi((x_1,y_1)) [/mm] = [mm] x_1*y_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] * [mm] y_2 [/mm] = [mm] \phi((x_2,y_2))$.
[/mm]
Multiplikation liefert [mm] $x_1^{-1} [/mm] * [mm] x_2 [/mm] = [mm] y_2*y_1^{-1}$. [/mm] Linkes Element ist aus [mm] S_3, [/mm] das rechte aus [mm] $S_{11}$. [/mm] Schnitt ist nur neutrales Element, also folgt [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$ [/mm] und [mm] $y_1 [/mm] = [mm] y_2$.
[/mm]
Bijektivität folgt aus Endlichkeit der Gruppen.
Stimmt das so?
> Jetzt hat [mm]S_3 \times S_{11}[/mm] genauso viele Elemente wie [mm]G[/mm],
> womit [mm]S_3 S_{11}[/mm] (was wegen der Isomorphie genauso viele
> Elemente wie [mm]S_3 \times S_{11}[/mm] hat) schon ganz [mm]G[/mm] sein
> muss.
>
> Damit folgt [mm]G = S_3 S_{11} \cong S_3 \times S_{11}[/mm].
Okay, das verstehe ich.
Vielen Dank für Deine Hilfe!
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 15.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Nennen wir die Sylowuntergruppen mal [mm]S_3[/mm] und [mm]S_{11}[/mm].
> >
> > Es gilt [mm]S_3 \cap S_{11} = \{ e \}[/mm] (warum?).
>
> Da [mm]|S_{11}| = 11[/mm] folgt nach dem Satz von Lagrange, dass
> jedes Element entweder Ordnung 1 oder 11 hat. Da neutrales
> Element eindeutig, haben alle anderen Elemente Ordnung 11.
> Die Elemente von [mm]S_3[/mm] außer des neutrales Elements haben
> jedoch eine Ordnung, welche [mm]9 = |S_3|[/mm] teilt.
> > Aus [mm]S_3, S_{11}[/mm] Normalteiler und [mm]S_3 \cap S_{11} = \{ 1 \}[/mm]
> > folgt, dass die Untergruppe [mm]S_3 \cdot S_{11}[/mm] von [mm]G[/mm] isomorph
> > zu [mm]S_3 \times S_{11}[/mm] ist. (Das ist evtl. ein Satz in der
> > Vorlesung?
>
> Nein, das hatten wir nicht. Ich probiere mal das mit deiner
> Anleitung zu zeigen:
>
> > Ansonsten zeige, dass [mm]S_3 S_{11} = S_{11} S_3[/mm]
> > ist, und dass [mm]S_3 \times S_{11} \to S_3 S_{11}[/mm] ein
> > injektiver Gruppenhomomorphismus ist.)
>
> Folgt das mit [mm]S_3 S_{11} = S_{11} S_3[/mm] nicht sofort aus der
> Normalteiler-Eigenschaft der Sylowuntergruppen?
Ja :)
> Für das andere definiere ich:
>
> [mm]\phi:S_3\times S_{11} \to S_3 S_{11}: (x,y) \mapsto x*y[/mm].
>
> Gruppenhomomorphimus: [mm]\phi( (x_1,y_1) * (x_2,y_2) ) = \phi( (x_1 \cdot x_2, y_1 \cdot y_2) ) = (x_1 \cdot x_2) * (y_1 * y_2) = (x_1 * y_1) * (x_2 * y_2) ) = \phi((x_1,y_1)) * \phi((x_2, y_2))[/mm]
>
> Dabei habe ich insbesondere ausgenutzt, dass die
> Sylowgruppen kommutativ sind
Nein, das hast du nicht. Du brauchst, dass [mm] $x_2 y_1 [/mm] = [mm] y_1 x_2$ [/mm] ist. Das hat nichts damit zu tun, ob [mm] $S_3$ [/mm] oder [mm] $S_{11}$ [/mm] kommutativ sind.
Du kannst allgemein zeigen: ist $G$ eine Gruppe, und sind $N, M$ Normalteiler in $G$ mit $N [mm] \cap [/mm] M = [mm] \{ e \}$, [/mm] dann folgt fuer $n [mm] \in [/mm] N$ und $m [mm] \in [/mm] M$, dass $n m = m n$ ist. (Ueberlege dir dazu, dass $(m n) (n [mm] m)^{-1}$ [/mm] sowohl in $N$ wie auch in $M$ liegt.)
> (das folgt daraus, dass die
> Primzahl- oder Primzahlquadratordnung besitzen, oder? Wenn
> ich also zum Beispiel eine Sylow-Gruppe der Ordnung [mm]p^3[/mm]
> hätte, hätte ich mit dieser Argumentation Probleme?);
Bei der Ordnung [mm] $p^3$ [/mm] bekommst du nicht dass es kommutativ ist. Das brauchst du aber fuer das innere direkte Produkt nicht. (Es bringt dir dort auch nichts.)
Selbst wenn [mm] $S_3$ [/mm] jetzt 27 Elemente haette, waer trotzdem $G [mm] \cong S_3 \times S_{11}$.
[/mm]
> Injektiv: Sei [mm](x_1,y_1), (x_2,y_2)[/mm] mit [mm]\phi((x_1,y_1)) = x_1*y_1 = x_2 * y_2 = \phi((x_2,y_2))[/mm].
>
> Multiplikation liefert [mm]x_1^{-1} * x_2 = y_2*y_1^{-1}[/mm].
> Linkes Element ist aus [mm]S_3,[/mm] das rechte aus [mm]S_{11}[/mm]. Schnitt
> ist nur neutrales Element, also folgt [mm]x_1 = x_2[/mm] und [mm]y_1 = y_2[/mm].
> Bijektivität folgt aus Endlichkeit der Gruppen.
Das geht auch einfacher  Jedes Element in [mm] $S_3 S_{11}$ [/mm] hat die Form $x y$ mit $x [mm] \in S_3$, [/mm] $y [mm] \in S_{11}$, [/mm] womit es gleich [mm] $\phi(x, [/mm] y)$ ist und somit im Bild liegt.
LG Felix
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Hallo Felix,
auch hier danke für deine Antwort!
> > [mm]\phi:S_3\times S_{11} \to S_3 S_{11}: (x,y) \mapsto x*y[/mm].
>
> >
> > Gruppenhomomorphimus: [mm]\phi( (x_1,y_1) * (x_2,y_2) ) = \phi( (x_1 \cdot x_2, y_1 \cdot y_2) ) = (x_1 \cdot x_2) * (y_1 * y_2) = (x_1 * y_1) * (x_2 * y_2) ) = \phi((x_1,y_1)) * \phi((x_2, y_2))[/mm]
>
> >
> > Dabei habe ich insbesondere ausgenutzt, dass die
> > Sylowgruppen kommutativ sind
>
> Nein, das hast du nicht. Du brauchst, dass [mm]x_2 y_1 = y_1 x_2[/mm]
> ist. Das hat nichts damit zu tun, ob [mm]S_3[/mm] oder [mm]S_{11}[/mm]
> kommutativ sind.
>
> Du kannst allgemein zeigen: ist [mm]G[/mm] eine Gruppe, und sind [mm]N, M[/mm]
> Normalteiler in [mm]G[/mm] mit [mm]N \cap M = \{ e \}[/mm], dann folgt fuer [mm]n \in N[/mm]
> und [mm]m \in M[/mm], dass [mm]n m = m n[/mm] ist. (Ueberlege dir dazu, dass
> [mm](m n) (n m)^{-1}[/mm] sowohl in [mm]N[/mm] wie auch in [mm]M[/mm] liegt.)
Ok: [mm] $(mn)(nm)^{-1} [/mm] = [mm] (mn)(m^{-1}n^{-1})$,und [/mm] einmal ist [mm] $mnm^{-1}\in [/mm] N$ und einmal [mm] $nm^{-1}n^{-1}\in [/mm] M$ jeweils wegen der Normalteilereigenschaft. (Ich finde diese Beweise irgendwie lustig  )
> Selbst wenn [mm]S_3[/mm] jetzt 27 Elemente haette, waer trotzdem [mm]G \cong S_3 \times S_{11}[/mm].
Ja, du hast recht. Ich habe ja nirgendwo kommutativ gebraucht. Aber ich würde dann eben nicht bekommen, dass die Gruppe G abelsch ist.
> > Bijektivität folgt aus Endlichkeit der Gruppen.
>
> Das geht auch einfacher Jedes Element in [mm]S_3 S_{11}[/mm] hat
> die Form [mm]x y[/mm] mit [mm]x \in S_3[/mm], [mm]y \in S_{11}[/mm], womit es gleich
> [mm]\phi(x, y)[/mm] ist und somit im Bild liegt.
Grüße,
Stefan
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