Ordnung, Inverse reinziehen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 14.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe und a,b [mm] \in [/mm] G.
Zeige [mm] ord(a^{-1})=ord(a) [/mm] |
Hallo zusammen,
Vlt., hat wer kurz Zeit um drüber zu schauen. Bin mir unsicher weil es mir zu leicht vorkommt.
[mm] ord(a)=min\{n\in \IN |n>0, a^n=e\}
[/mm]
[mm] a^n [/mm] =e
[mm] (a^n)^{-1}=e^{-1}
[/mm]
[mm] a^{-n}=e
[/mm]
[mm] (a^{-1})^n [/mm] =e
Noch zuZeigen: n kleinste Potenz>0 mit [mm] (a^{-1})^{\mbox{Potenz}} [/mm] =e
Sei m >0, m<n mit [mm] (a^{-1})^m [/mm] =e
[mm] (a^m)^{-1})=e
[/mm]
[mm] ((a^m)^{-1})^{-1}=e^{-1}
[/mm]
[mm] a^m [/mm] =e
-> m<n, m>0 Widerspruch zur Minimalität von n
Das in einer Gruppe gilt:
[mm] (a^n)^{-1}=(a^{-1})^n \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] a^{-n}=(a^{-1})^n \forall [/mm] n [mm] \in \IZ
[/mm]
haben wir in der Vorlesung gezeigt.
LG,
sissi
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Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") dies folgt alles aus $ [mm] a^n=1\iff (a^{-1})^n=1$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Fr 14.11.2014 | | Autor: | sissile |
> Ja dies folgt alles aus [mm]a^n=1\iff (a^{-1})^n=1[/mm].
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Danke UniversellesObjekt;)
LG,
sissi
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