Ordnung einer Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | [mm] $f:\IC\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph (also eine ganze Funktion). $f$ hat per Definition die Ordnung [mm] $\rho$, [/mm] falls
[mm] $\rho=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln M(f,r)}{\ln r}$
[/mm]
wobei
[mm] $M(f,r):=\sup_{\left|z\right|\leqslant r}\left|f(z)\right|$
[/mm]
Zeige, dass:
(1): [mm] exp(e^z) [/mm] keine endliche Ordnung hat
(2): Polynome die Ordnung 0 haben |
Hallo,
könnte mir jemand freundlicherweise bei diesen Aufgaben weiterhelfen. Bei (1) frage ich mich, ob der Aufgabensteller (aufgrund der unterschiedlichen Notation) eventuell ein $exp$ zu viel verwendet hat.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:27 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]f:\IC\rightarrow\IC[/mm] holomorph (also eine ganze Funktion). [mm]f[/mm]
> hat per Definition die Ordnung [mm]\rho[/mm], falls
> [mm]\rho=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln M(f,r)}{\ln r}[/mm]
>
> wobei
> [mm]M(f,r):=\sup_{\left|z\right|\leqslant r}\left|f(z)\right|[/mm]
Wegen des Maximumsprinzip ist ja $M(f, r) = [mm] \sup_{|z| = r} [/mm] |f(z)|$. Aber das interessiert erstmal nicht weiter.
> Zeige, dass:
> (1): [mm]exp(e^z)[/mm] keine endliche Ordnung hat
> (2): Polynome die Ordnung 0 haben
> Hallo,
>
> könnte mir jemand freundlicherweise bei diesen Aufgaben
> weiterhelfen. Bei (1) frage ich mich, ob der
> Aufgabensteller (aufgrund der unterschiedlichen Notation)
> eventuell ein [mm]exp[/mm] zu viel verwendet hat.
Das kann natuerlich sein. In dem Fall ist die Ordnung auch unendlich. Aber mit zweimal [mm] $\exp$ [/mm] ist sie ebenfalls unendlich. Frag den Aufgabensteller doch einfach mal.
Fuer (2) schreibst du $f(z( = [mm] \sum_{j=0}^n a_j z^j$ [/mm] mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0$ und dann $f(z) = [mm] z^n \cdot (a_n [/mm] + [mm] a_{n-1} z^{-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_0 z^{-n})$. [/mm] Du siehst schnell, dass fuer $z [mm] \to \infty$ [/mm] der hintere Term [mm] $a_n [/mm] + [mm] a_{n-1} z^{-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_0 z^{-n}$ [/mm] gegen [mm] $a_n$ [/mm] geht, insofern reicht es aus [mm] $a_n z^n$ [/mm] anzuschaun. Wenn du mal testweise nur [mm] $a_n z^n$ [/mm] anschaust, siehst du schnell dass $M(f, r) = [mm] |a_n| \cdot r^n$ [/mm] ist, also [mm] $\ln [/mm] M(f, r) = n [mm] \cdot \ln [/mm] r + [mm] \ln |a_n|$, [/mm] und somit [mm] $\frac{\ln M(f, r)}{\ln r} [/mm] = [mm] \frac{n \ln r}{\ln r} [/mm] + [mm] \frac{\ln |a_n|}{\ln r} \to [/mm] n$ fuer $r [mm] \to \infty$. [/mm] Die Ordnung ist also $n$ und nicht $0$.
Frag vielleicht hier auch nochmal den Aufgabensteller, ob alles stimmt. Oder guck ob es im Nenner vielleicht nicht [mm] $\ln [/mm] r$ sondern $r$ heissen sollte: in dem Fall ist die Ordnung von Polynomen naemlich tatsaechlich 0 und du musst schon das doppelte [mm] $\exp$ [/mm] nehmen, damit die Ordnung bei (1) unendlich wird.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Di 28.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Felix,
danke für Deine Antwort. Wie lautet denn Dein Ansatz für (1)? Also wie bestimmst Du $M(f,r)$ mit [mm] $f(z)=exp(e^z)$? [/mm] Bietet es sich in diesem Fall an mit Polyrkoordinaten zu arbeiten?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny,
> danke für Deine Antwort. Wie lautet denn Dein Ansatz für
> (1)? Also wie bestimmst Du [mm]M(f,r)[/mm] mit [mm]f(z)=exp(e^z)[/mm]? Bietet
> es sich in diesem Fall an mit Polyrkoordinaten zu
> arbeiten?
Es ist ja [mm] $|e^{x + i y}| [/mm] = [mm] e^x$. [/mm] Da [mm] $e^x$ [/mm] monoton ist nimmt [mm] $|e^z|$ [/mm] also dann den groessten Wert an, wenn [mm] $\Re [/mm] z$ den groessten Wert annimmt. Und auf einem Kreis mit Radius $r$ um $0$ tut das gerade $z = r$.
LG Felix
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