Ordnung einer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Sei (G,∗) eine Gruppe und sei a,b∈G.
Beweisen Sie: ord(a ∗b) = ord(b∗ a) . |
ich wieß nicht, wie man das beweisen kann.
ich kenne, dass der Ordnung einer Elemente die kleinste natürliche Zahl n>0, für die [mm] g^{n}=e [/mm] und e [mm] \in [/mm] G gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Es sei
(1) [mm] $(ab)^n [/mm] = e$.
Dann:
$ab = [mm] (ab)^{n+1} [/mm] = a(ba)^nb$
Mult. mit [mm] a^{-1} [/mm] von links liefert:
$b = (ba)^nb$
Mult. mit [mm] b^{-1} [/mm] von rechts liefert:
(2) $e = [mm] (ba)^n$
[/mm]
Genauso zeigt man die Implikation $(2) [mm] \Rightarrow [/mm] (1)$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
$ ab = [mm] (ab)^{n+1} [/mm] = a(ba)^nb $
wie haben Sie dieses Formel bekommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]ab = (ab)^{n+1} = a(ba)^nb[/mm]
>
Das erste "=" folgt aus $e = [mm] (ab)^n$
[/mm]
[mm] $(ab)^{n+1} [/mm] = a(ba)^nb$ kann man induktiv zeigen
> wie haben Sie dieses Formel bekommen?
Wir sagen in diesem Forum "Du"
FRED
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