Ordnung einer Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Di 12.04.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
was ist die Ordnung einer Gruppe? Ist dies nicht einfach die Anzahl der Elemente einer Gruppe?
Wie gebe ich dann alle Gruppen einer bestimmten Ordnung, z.B. der Ordnung 3, an?
Ich bedanke mich für Erklärungen.
Viele Grüße,
Regine.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Di 12.04.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
Danke für die schnelle Antwort.
Wenn ich ehrlich bin, fallen mir solche Beweise schwer und es besteht somit Klärungsbedarf.
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Di 12.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo regine!
Dann wollen wir es mal ganz elementar zeigen, ohne irgendwelche Sätze.
Sei also $G=(e,a,b)$ eine Gruppe der Ordnung $3$, mit Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] und neutralem Element $e$.
Dann definiere ich eine Abbildung [mm] $\varphi: \IZ/3\IZ \to [/mm] G$ wie folgt:
[mm] $\varphi(0)=e$,
[/mm]
[mm] $\varphi(1)=a$,
[/mm]
[mm] $\varphi(2)=b$.
[/mm]
Diese Abbildung ist bijektiv, klar.
Die Frage ist, ob sie auch ein Gruppenhomomorphismus ist.
Logischerweise gilt:
[mm] $\varphi(0+0) [/mm] = e = [mm] e\circ [/mm] e = [mm] \varphi(0) \circ \varphi(0)$,
[/mm]
[mm] $\varphi(0+1) [/mm] = a = e [mm] \circ [/mm] a = [mm] \varphi(0) \circ \varphi(1)$,
[/mm]
usw.
Was vielleicht interessant zu prüfen ist:
Warum gilt:
[mm] $\varphi(2) [/mm] = [mm] \varphi(1+1) [/mm] = [mm] \varphi(1) \circ \varphi(1)$,
[/mm]
also:
$b = a [mm] \circ [/mm] a$.
Nun, wäre $a [mm] \circ [/mm] a=a$, dann hätte man $a=e$, Widerspruch.
Wäre $a [mm] \circ [/mm] a=e$, dann hätte man [mm] $a\circ [/mm] b [mm] \notin\{e,a\}$, [/mm] also: $a [mm] \circ [/mm] b=b$ und damit ebenfalls $a=e$, Widerspruch.
Etc.
Naja, so kann man sich das ganz elementar herleiten.
Einfacher wäre es natürlich einzusehen, dass Gruppen von Primzahlordnung notwendigerweise zyklisch sind, und man einfach einen Erzeuger der einen Gruppe auf einen Erzeuger der anderen Gruppe abbilden kann und so einen natürlichen Isomorphismus bekommt. Aber ich denke mal das sagt dir (noch) nichts...
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Mi 13.04.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
eine Gruppe G ist doch genau dann zyklisch, wenn sie von einem einzelnen Element erzeugt werden kann. Sie besteht dann aus den Potenzen des Erzeugers a: $<a> = [mm] \{ a^n | n=0, \pm 1, ... \}$.
[/mm]
Wenn der Wert der Ordnung von G eine Primzahl ist, dann ist G auf jeden Fall zyklisch. Allerdings habe ich den Beweis dazu nicht ganz verstanden.
Fall [mm] $G=\{ e \}$, [/mm] dann ist G zyklisch. ok!
Sonst existiert ein $g [mm] \not= [/mm] e$ in G mit: $o(g) [mm] \not= [/mm] 1$ und $o(g)||G|=p$. Damit ist $o(g)=p$.
Dieses bedeutet $|<g>| = p = |G|$, also $<g>=G$.
Betrachte ich jetzt nicht mehr die Ordnung der Gruppe, sondern die Ordnung eines Elementes? Oder wie ist das Ganze zu verstehen?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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Guten Morgen!
Das Problem an dieser Stelle ist, dass der Begriff "Ordnung" mehrfach belegt ist. Als "Ordnung" einer Gruppe bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente (natürlich nur bei endlichen Gruppen).
Als Ordnung eines Elementes $g$ bezeichnet man die kleinste natürliche Zahl $n$, so dass [mm] $g^n [/mm] = e$. Natürlich auch nur falls vorhanden. 
Die Begriffe fallen bei zyklischen Gruppen in gewisser Weise zusammen: ist eine Gruppe $G$ zyklisch und erzuegt von $g [mm] \in [/mm] G$, so ist die Ordnung von $G$ offensichtlich gleich der Ordnung von $g$.
Zu dem von Dir gegebenen Beweis: alles was man wissen muss ist, dass die Ordnung jedes Gruppenelementes die Ordnung der Gruppe teilt. Da eine Primzahl nicht so viele Teiler hat, bleibt für ein $g [mm] \in [/mm] G$ mit $g [mm] \not= [/mm] e$ keine Wahl als Ordnung $p$ zu haben und damit die Gruppe als zyklisches Element zu erzeugen.
Beachte auch, dass folgt, dass in einer Gruppe mit Primzahlordnung jedes Element ausser dem neutralen die Gruppe zyklisch erzeugt.
Was die Gruppen angeht, die keine Primzahlordnung haben: die Sache ist schwerer und das Problem der Klassifikation (also: wieviele gibt es bis auf Isomorphie) hat Gruppentheoretiker über Jahrhunderte kann man bald sagen beschäftigt und die endgültige Antwort im Fall der endlichen Gruppen ist erst Mitte des 20. Jahrhunderts gegeben worden.
Kurz: solche Beweise sind alles andere als trivial.
Lars
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