Ordnung einer Restklasse < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm]ord _1_5 13[/mm]. |
Hallo zusammen,
ich lerne gerade für eine mündliche Prüfung und habe ein Problem mit dem Berechnen der Ordnung von Restklassen.
Mir ist klar, dass man durch das Berechnen der Ordnung [mm]ord _m (a) [/mm] den kleinsten positiven Exponent k berechnet für den gilt [mm]a^k \equiv 1 mod m
[/mm] und ich weiß auch, wie man das berechnet.
Wenn ich jetzt allerdings die Ordnung aus der Aufgabe berechne, bekomme ich für kein k [mm]a^k \equiv 1 mod m
[/mm] heraus.
Und da weiß ich einfach nicht, was mir das dann sagt und wie ich dann weiter verfahre? Oder habe ich mich einfach nur verrechnet?
Mein Lösungsweg:
[mm]ord _1_5 13[/mm]
Zuerst berechne ich:
[mm] \varphi(15) = \varphi(3 * 5) = \varphi(3) * \varphi(5) = 2 * 4 = 6[/mm]
Die Teiler von 6 sind: [mm]T _6 = {2,3,6}[/mm]
Anschließend setze ich die Teiler in die Kongruenz [mm]13^k \equiv x mod 15[/mm] ein und der erste Wert für k, der kongruent 1 mod 15 ist, ist die gesuchte Ordnung:
[mm]13^2 \equiv 169 \equiv 4 mod 15
13^3 \equiv 7 mod 15
13^6 \equiv 13^3 * 13^3 \equiv 7*7 \equiv 49 \equiv 4 mod 15[/mm]
Habe ich mich irgendwo verrechnet? Oder doch etwas falsch verstanden?
Über Hilfe wäre ich sehr sehr dankbar!
Viele Grüße
Adele
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Adele,
ich kann Dir nicht ganz folgen. Hast Du irgendwo die richtige Lösung 4 berechnet oder anderweitig herausgefunden?
Eine Betrachtung [mm] \mod{3} [/mm] und eine [mm] \mod{5} [/mm] bringen Dich doch leicht zum richtigen Ergebnis. Dazu musst Du dann nur noch ein kgV finden...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
Hallo reverend,
danke für die schnelle Antwort!
Allerdings kann ich dir da jetzt auch nicht ganz folgen - was meinst du mit "richtige Antwort 4" herausgefunden?
Wie ich die Aufgabe verstehe, geht es doch nicht darum die 15 zu reduzieren oder? Sondern eben darum genau die Ordnung zu berechnen.
Jetzt bin ich verwirrt.
Liebe Grüße
Adele
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Hallo nochmal,
> danke für die schnelle Antwort!
>
> Allerdings kann ich dir da jetzt auch nicht ganz folgen -
> was meinst du mit "richtige Antwort 4" herausgefunden?
Na, [mm] 13^4\equiv 1\mod{15}. [/mm] Darum gings doch, oder?
> Wie ich die Aufgabe verstehe, geht es doch nicht darum die
> 15 zu reduzieren oder? Sondern eben darum genau die Ordnung
> zu berechnen.
Eben.
> Jetzt bin ich verwirrt.
Das tut mir leid. Hilft Dir das hier jetzt weiter?
lg
rev
PS: Ein schöner Name übrigens. Sogar dann, wenn er nicht echt ist. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
Hallo reverend,
nochmal Danke für die schnelle Antwort :)
4 ist aber doch kein Teiler von 6. Und wenn ich das richtig verstanden habe, wird die Ordnung [mm]ord _m (a)[/mm] mit den Teilern von [mm] \varphi(m)[/mm] hier [mm]\varphi(15) = 6[/mm] berechnet, indem man die Teiler der Reihe nach in die Kongruenz [mm]13^k \equiv x mod 15[/mm] einsetzt und überprüft, wann x das erste mal 1 wird. Normalerweise war das in den Aufgaben spätestens bei [mm]k = \varphi(m)[/mm] - und hier kommt nirgends 1 raus :(
Liebe Grüße
Adele
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Hallo Adele,
> nochmal Danke für die schnelle Antwort :)
Na, dafür ist so ein Forum doch da. Wer zuerst Zeit hat und die Frage beantworten kann, tuts.
> 4 ist aber doch kein Teiler von 6.
Das ist wohl wahr, aber...
> Und wenn ich das richtig
> verstanden habe, wird die Ordnung [mm]ord _m (a)[/mm] mit den
> Teilern von [mm]\varphi(m)[/mm] hier [mm]\varphi(15) = 6[/mm] berechnet,
> indem man die Teiler der Reihe nach in die Kongruenz [mm]13^k \equiv x mod 15[/mm]
> einsetzt und überprüft, wann x das erste mal 1 wird.
Das kann man so machen, aber es dauert bei Zahlen mit mehreren Faktoren (bzw. [mm] \varphi(m) [/mm] mit einigen oder vielen echten Teilern) u.U. ziemlich lange.
> Normalerweise war das in den Aufgaben spätestens bei [mm]k = \varphi(m)[/mm]
> - und hier kommt nirgends 1 raus :(
Tja, das liegt wohl daran, dass [mm] \varphi(15)=8 [/mm] ist. Da ist Dir ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen.
Übrigens: [mm] 13\equiv(-2)\mod{15}. [/mm] Damit gehts schneller.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
oh nee und ich zerbrech mir schon die ganze Zeit den Kopf, aber ja, 2 * 4 ist irgendwie 8 und nicht 6 - ich danke dir :)
Das ist dann ein weiterer erheiternder Flüchtigkeitsfehler meinerseits für meinen Freund :D
Liebe Grüße und einen schönen Abend noch!
Adele
.. das ist mein echter Name.
... vielleicht hast du ja auch einen erhellenden Tipp für meine andere Frage?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Sa 26.10.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Adele,
> oh nee und ich zerbrech mir schon die ganze Zeit den Kopf,
> aber ja, 2 * 4 ist irgendwie 8 und nicht 6 - ich danke dir
> :)
Es gibt Leute, die behaupten, das sei nicht nur in unserem Universum so - aber ich würde dieser Denkweise vorerst misstrauen. Bis Einstein haben wir ja auch Euklid geglaubt, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten immer ein Teil einer Geraden sei.
> Das ist dann ein weiterer erheiternder
> Flüchtigkeitsfehler meinerseits für meinen Freund :D
Hm. Sorry, das war keine Anmache. Die gehört auch nicht in so ein Forum.
> Liebe Grüße und einen schönen Abend noch!
> Adele
> .. das ist mein echter Name.
War ernst gemeint. Den finde ich schön. Punkt.
> ... vielleicht hast du ja auch einen erhellenden Tipp für
> meine andere Frage?
Da ist ja schon seit einer Weile abakus zugange. Aber der beste Tipp ist: erst kürzen, soweit möglich. Wie bei der Bruchrechnung auch. Dann kann man sich immer noch mit dem Kongruenzsystem rumschlagen, aber es ist dann meistens viel übersichtlicher.
Übrigens ist [mm] 0x\equiv 0\mod{m} [/mm] unbedenklich, weil nichtssagend, tautologisch.
[mm] ax\equiv 0\mod{m} [/mm] schadet auch nicht, kann man kürzen.
Richtig schlecht ist [mm] 0x\equiv a\mod{m} [/mm] mit [mm] a\not=0.
[/mm]
Oder?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
Hallo reverend!
Danke auch für die Tipps zu der anderen Aufgabe :) Das sind einfach so viele verschiedene Regeln, dass ich da bisschen durcheinander bin, was man wo anwenden darf..
>> Das ist dann ein weiterer erheiternder
>> Flüchtigkeitsfehler meinerseits für meinen Freund :D
>Hm. Sorry, das war keine Anmache. Die gehört auch nicht in so ein Forum.
Das habe ich auch gar nicht so verstanden und meine Aussage war gar nicht so gemeint :)
Viel eher, dass ich seit ich für meine Prüfungen lerne schon einige doofe Flüchtigkeitsfehler gemacht habe und damit meinen Freund amüsiere (beim Lernen für die letzte schriftliche Prüfung kam irgendwann der Satz "Du brauchst keinen Stochastik-, sondern einen Grundrechen-Kurs!")
So, genug Mathe für heute - morgen gehts weiter :)
Zum Glück gibts das Forum und die kompetente Hilfe hier, wenn wir nicht weiter kommen :) ... ich hoffe, 2*4 kann ich jetzt dann ohne Rückfragen ausrechnen ;)
Liebe Grüße
Adele
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