Ordnung eines Elements < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Mo 08.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe.
Zeigen Sie, dass |gh|=|hg| für alle g,h [mm] \in [/mm] G. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Also, mein Ansatz ist:
Sind g,h [mm] \in [/mm] G so auch gh und hg. Das ist klar.
Ich betrachte:
[mm] (gh)^{|hg|}=gh*gh*gh*...*gh=e [/mm] , d.h. ich multipliziere hg-mal und verwende die Definition der Ordnung eines Gruppenelements.
Und ab hier weiß ich nicht weiter.
Meine Idee ist, dass man nun umklammern kann, da ja die Gruppenassoziativität gilt, also:
[mm] (gh)^{|hg|}=gh*gh*gh*...*gh=g*(hg)*(hg)*...*(hg)*h=e.
[/mm]
...
Wie könnte ich weiter vorgehen?
Oder sollte ich ganz anders vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Deine Idee mit dem Umklammern ist ausbaufähig.
Gehe so vor:
Zeige zuerst: $|gh|=1 [mm] \gdw [/mm] |hg|=1$
Nun nimm an, dass |gh| > 1 und zeige |hg | [mm] \ge [/mm] |gh|. Aus Symmetriegründen folgt dann :
|gh|=|hg|
Sei also |gh|>1.
Es ist
$e= [mm] (gh)^{|gh|}=gh\cdot{}gh\cdot{}gh\cdot{}...\cdot{}gh=g\cdot{}(hg)\cdot{}(hg)\cdot{}...\cdot{}(hg)\cdot{}h= g(hg)^{|gh|-1}h [/mm] $
Nun führe die Annahme |hg | < |gh| zum Widerspruch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mo 08.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Dankesehr, ich werde mich versuchen und dann eventuell wieder nachfragen oder aber das Ergebnis posten, damit diese Diskussion dann als abgeschlossen gelten kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 Di 09.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich habe lange über Deine Antwort nachgedacht, aber ich verstehe nicht, was ich da eigentlich zeige und wie die Argumentation ist. Ich erkenne meine Idee, dass man umklammern kann, darin gar nicht wieder.
Leider kann ich also gar keine Ideen posten. |
Ich freue mich über Erläuterungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Di 09.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe lange über Deine Antwort nachgedacht, aber ich
> verstehe nicht, was ich da eigentlich zeige und wie die
> Argumentation ist. Ich erkenne meine Idee, dass man
> umklammern kann, darin gar nicht wieder.
>
> Leider kann ich also gar keine Ideen posten.
> Ich freue mich über Erläuterungen.
Sei $n$ die Ordnung von $g h$ und $m$ die Ordnung von $h g$.
Was Fred sagte: du sollst $m [mm] \ge [/mm] n$ zeigen.
Aus Symmetriegruenden ($g$ und $h$ vertauschen) folgt dann auch $n [mm] \ge [/mm] m$, also insgesamt $n = m$.
Er hat dir auch gesagt, wie du vorgehen sollst: $e = (g [mm] h)^n [/mm] = (g h) [mm] \cdots [/mm] (g h) = g (h g) [mm] \cdots [/mm] (h g) h = g (h [mm] g)^{n - 1} [/mm] h$. Das hattest du ja schon mehr oder weniger in deiner Frage stehen, das ist das Umklammern.
Du sollst laut Fred jetzt annehmen, dass $m < n$ ist, also $m [mm] \le [/mm] n - 1$, und daraus einen Widerspruch bekommen.
Was genau daran verstehst du denn nicht?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:03 Di 09.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | In Ordnung, ich versuche es hier aufzuschreiben:
Sei n die Ordnung von [mm] gh [/mm].
Sei m die Ordnung von [mm] hg [/mm].
[mm] e=(gh)^n=(gh)*(gh)*...*(gh)=g*(hg)*...*(hg)*h=g*(hg)^{n-1}*h
[/mm]
Sei m < n, also m [mm] \le [/mm] n-1:
[mm] e=(hg)^{n-1}=(hg)*...*(hg)=h(gh)(gh)*...*(gh)g=h(gh)^{n-2}g\not=e, [/mm] da die Ordnung von gh ja gerade als n angesetzt wurde.
Das ist ein Widerspruch, d.h. die Ordnung von hg ist nicht kleiner als die Ordnung von gh. |
Folgt hieraus nun, dass m [mm] \ge [/mm] n und damit dann die Behauptung (wegen der genannten Symmetriegründe)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Do 11.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich würde mich freuen, wenn es noch eine Reaktion gäbe.
Ich würde die Aufgabe nämlich gerne erfolgreich abschließen. Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 12.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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