Ordnung groß O < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mi 16.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Geben Sie an, ob die Aussage wahr oder falsch ist:
x*ln(x)=O(x) , [mm] x\rightarrow0 [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mein Ansatz ist folgender:
f(x)=x*ln(x) , g(x)=x
allgemein soll gelten:
[mm] \parallel [/mm] f(x) [mm] \parallel \le [/mm] C*|g(x)| mit [mm] C(\varepsilon), \varepsilon>0 [/mm] , [mm] \parallel [/mm] x-a [mm] \parallel <\varepsilon
[/mm]
also:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{\parallel x*ln(x) \parallel}{|x|} \le [/mm] C
So, der Nenner geht eindeutig gegen 0, der Zähler gegen "0" mal [mm] "-\infty". [/mm] (Also zumindest glaube ich, dass der Grenzwert von ln(x) gegen Minus Unendlich geht für x gegen 0. Hab ich mir aber nur logich hergeleitetet... Hier hab ich folgenden Trick angewendet: [mm] x*ln(x)=\bruch{x}{\bruch{1}{ln(x)}}. [/mm] Der Grenzwert davon ergibt sowohl im Zähler als auch im Nenner 0, deshalb kann man hier l'Hospital anwenden (ich betrachte hier nur denn Zähler vom ursprünglichen Bruch!):
[mm] ...=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{-\bruch{1}{x*ln^{2}(x)}}= [/mm] - [mm] x*ln^{2}(x). [/mm] (ich hoffe ich habe das richtig vereinfacht? das mit den Brüchen ist so verwirrend...)
(Hier war ich mir nicht sicher ob [mm] (ln(x))^{2}=ln(x^{2})=2*ln(x)?? [/mm] Darf ich das machen? Ich glaube nicht.)
Jedenfalls stehe ich dann schon wieder vor einem Problem. Zunächst mal: was ist der Grenzwert von [mm] x\rightarrow0 ln^{2}(x)? [/mm] Da ja der Grenzwert von laut mir Minus Unendlich ist, müsste der Grenzwert hier also " [mm] -\infty [/mm] mal [mm] -\infty [/mm] " ergeben, richtig? Dann ist das ganze wieder " 0 mal [mm] \infty [/mm] " - und ich muss wieder von vorne anfangen mit meinem "Trick", dann l'Hospital. Und man muss bedenken dass das ja auch nur der Zähler ist, dazu kommt ja noch der Nenner ( [mm] \rightarrow0 [/mm] ) ... Das muss doch auch schneller gehen, oder? Oder bin ich evtl. schon total aufm falschen Dampfer...?
Danke schonmal für die Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Mi 16.09.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich glaube du hast dich da ein bischen verrannt. Es ist [mm] $\frac{x\cdot\log x}{x}=\log [/mm] x$ und das ist für [mm] $x\to [/mm] 0$ jedenfalls nicht beschränkt.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Do 17.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo Robert,
Danke, ich glaube "verrannt" isst noch stark untertrieben...! (passiert mir leider öfter :-( ). Aber in dem Fall lag es wahrscheinlich daran, dass f(x) ja in einer anderen Metrik steht als g(x). Und das führt mich leider gleich zu meiner nächsten - vermutlich sehr dämlichen - Frage: Was bedeutet es hier denn eigentlich genau, dass f(x) in doppelten Betragsstrichen steht? Länage ja wohl nicht... Bei g(x) ist es der "normale" Betrag. Deswegen hatte ich auch nicht auf den ersten Blick gesehen, dass man das x wegkürzen darf.
Jedenfalls, wenn ich das x wegkürze habe ich ja nur noch den Limes von ln(x) dastehn - der gegen Minus [mm] \infty [/mm] geht - und der kleiner als die Konstante C sein soll. Das ist ja auf jeden Fall der Fall, da eine Konstante ja nicht [mm] \infty [/mm] / - [mm] \infty [/mm] sein kann. Also ist die Bedingung erfüllt und es müsste x*ln(x) = O(x) zutreffen. Die richtige Lösung ist aber leider: Nein. Wo ist mein Denkfehler? Vllt. dass der Limes ja nicht existiert, bzw. keinen Wert hat und man deswegen vllt. gar keine Aussage machen kann...?
Danke im Vorraus,
à la fin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Allgemein: für eine Funktion f bedeutet
f(x)=O(x) , $ [mm] x\rightarrow0 [/mm] $
nichts anderes als, dass der Quotient
[mm] \bruch{f(x)}{x}
[/mm]
für x [mm] \to [/mm] 0 beschränkt bleibt. Das ist die Definition des Landau-Symbols O.
In Deinem Fall ist $f(x) = x*ln(x)$ und damit obiger Quotient = $ln(x)$
Das bleibt aber für x [mm] \to [/mm] 0 nicht beschränkt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Do 17.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo Robert,
Nur zur Ergänzung: Du hast nach dem doppelten Betragsstrich gefragt. Damit deutet man immer an, dass f nicht unbedingt reell-wertig sein muss, sondern auch vektorwertig, oder allgemeiner Werte eines reellen/komplexen Banachraumes, annehmen kann.
Wichtig ist nur, dass man diese Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] hat, mit der man den Werten von f irgendwie "eine Länge" zuordnen kann (ich schreibe "Länge" in Anführungszeichen, da es nur eine Vorstellung vermitteln soll und keine konkretee mathematische Aussage dahinter steht).
Die Funktion g muss aber auf jeden Fall reell/komplex-wertig sein, sonst könntest du den Quotienten nicht bilden. Hoffe das hilft dir weiter.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | 2. [mm] x*ln(x)=o(\wurzel{x}) [/mm] , x [mm] \rightarrow [/mm] 0
3. [mm] e^{x+1}=O(e^{x}) [/mm] , x [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
4. [mm] e^{2x}=O(e^{x}) [/mm] , x [mm] \rightarrow \infty [/mm] |
Hallo nochmal,
nachdem ich jetzt die erste von den 4 Landau-Aufgaben gelöst (bzw. nachvollzogen + verstanden) hab, haperts doch noch ein kleines bisschen mit den 3 restlichen.
zur 2.: hier hab ich ja Ordnung klein o von g(x), das ist doch die gleiche Bedingung wie bei groß O, nur dass der Quotient genau Null ergeben muss (richtig?). also habe ich doch:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{\wurzel{x}*\wurzel{x}*ln(x)}{\wurzel{x}} [/mm] = 0 [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow0} \wurzel{x}*ln(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] ... und hier würde ja jetzt " 0 mal Minus [mm] \infty [/mm] " stehen und das ergibt dann 0 ? Stimmt das? Das kommt mir ein bisschen komisch vor. Auf jeden Fall ist die Antwort hier: Ja.
die 3. ist (glaub ich) ganz einfach (wenn ich's richtig gemacht hab):
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{e^{x+1}}{e^{x}} \le [/mm] C [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{e^{x}*e}{e^{x}} \le [/mm] C [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] e [mm] \le [/mm] C und das stimmt ja. (Antwort ist auch ja)
und zur 4.: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{e^{2x}}{e^{x}} \le [/mm] C [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow\infty} e^{x} [/mm] beschränkt ist. Das ist natürlich nicht der Fall, deswegen ist die Antwort hier: Nein (richtig).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 19.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
