Ordnung vom Zentrum immer >1? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 14.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hallo,
ich würde gerne wissen ob ich sagen kann dass die Ordnung vom Zentrum einer Gruppe größer als 1 ist.
Ich meine das schonmal gehört zu haben, aber ich finde gerade keinen Satz darüber in meinem Skript.
Also stimmt es dass die Ordnung vom Zentrum >1 ist? Wenn ja warum?
lg
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Huhu,
sei [mm] $G=\{e\}$ [/mm] die Gruppe, die nur aus einem (neutralen) Element besteht.
Was ist Z(G) und welche Ordnung hat es?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 14.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
Da [mm] Z_G \subseteq [/mm] G muss [mm] Z_G [/mm] die Ordnung 1 haben oder?
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Hiho,
> Da [mm]Z_G \subseteq[/mm] G muss [mm]Z_G[/mm] die Ordnung 1 haben oder?
Nunja, du brauchst dafür auch noch, dass [mm] $Z_G \not= \emptyset$ [/mm] immer gilt.
Es gilt ja sogar [mm] $\{e\} \subseteq Z_G \subseteq [/mm] G$ und damit in diesem Fall [mm] $Z_G [/mm] = G$ 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 14.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
Mhhh das hilft mir bei meinem Beweis nicht weiter :(
ich versuche zu zeigen dass:
Jede Gruppe der Ordnung [mm] p^2 [/mm] ist abelsch (p Primzahl).
Ich betrachte dabei also das Zentrum [mm] Z_G, [/mm] dessen Ordnung ein Teiler von [mm] p^2 [/mm] ist. Also kann [mm] |Z_G|=1, [/mm] p, [mm] p^2 [/mm] sein.
Kann ich den Fall [mm] |Z_G|=1 [/mm] jetzt irgendwie ausschließen? Wenn das geht ist mein Beweis fertig, aber mit [mm] |Z_G|=1 [/mm] komm ich nicht zurecht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mhhh das hilft mir bei meinem Beweis nicht weiter :(
> ich versuche zu zeigen dass:
> Jede Gruppe der Ordnung [mm]p^2[/mm] ist abelsch (p Primzahl).
>
> Ich betrachte dabei also das Zentrum [mm]Z_G,[/mm] dessen Ordnung
> ein Teiler von [mm]p^2[/mm] ist. Also kann [mm]|Z_G|=1,[/mm] p, [mm]p^2[/mm] sein.
>
> Kann ich den Fall [mm]|Z_G|=1[/mm] jetzt irgendwie ausschließen?
> Wenn das geht ist mein Beweis fertig, aber mit [mm]|Z_G|=1[/mm] komm
> ich nicht zurecht
Nun, entweder hattet ihr so ein Resultat fuer $p$-Gruppen (d.h. endliche Gruppen mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen), oder du musst es selber beweisen. Mit der Klassenformel kommst du hier etwa weiter.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ich würde gerne wissen ob ich sagen kann dass die Ordnung
> vom Zentrum einer Gruppe größer als 1 ist.
nein, bei allgemeinen Gruppen geht das nicht. Nimm eine ![[]](/images/popup.gif) nicht-kommutative einfache Gruppe, etwa [mm] $A_4$.
[/mm]
> Ich meine das schonmal gehört zu haben, aber ich finde
> gerade keinen Satz darüber in meinem Skript.
Bei bestimmten Gruppen ist das so. Z.B. falls $|G| = [mm] p^n$ [/mm] ist mit $n [mm] \ge [/mm] 1$; dann ist $|Z(G)| [mm] \ge [/mm] p > 1$.
Schau mal nach so einer Aufgabe bzw. nach so einem Satz.
LG Felix
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