Ordnung von Elem. aus Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Fr 02.11.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | [mm] a,b\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}
[/mm]
[mm] ord(a)=ord(b)=\infty
[/mm]
[mm] ord(a+b)<\infty [/mm] |
Es finden sich zahlreiche Beispiele, bei denen [mm] ord(a)<\infty, ord(b)<\infty [/mm] aber [mm] ord(ab)=\infty, [/mm] nur schaffe ich es nicht zwei Elemente , die obige Bedingungen erfüllen, zu finden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Fr 02.11.2012 | | Autor: | drix |
Die erste Komponente eines Elements aus [mm] $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}$ [/mm] ist für sich allein genommen immer endlicher Ordnung (ord$(0)=0$ und ord$(1)=2$). Somit ist nur noch die 2. Komponente interessant.
Wenn Du Dir das Klarmachst brauchst Du nur noch überlegen, dass das Inverse in der 2. Komponente bei der Verknüpfung die $0$ liefert.
Konkret:
[mm] $a:=(a_1,a_2)$ [/mm] mit [mm] $a_1$ [/mm] beliebig und [mm] $a_2 \neq [/mm] 0$, so gilt für alle [mm] $b:=(b_1,-a_1)$ [/mm] mit [mm] $b_1$ [/mm] beliebig genau die Aussage, da die Ordnung von $a+b$ in allen Fällen maximal $4$ betragen kann.
Denn:
[mm] $(a_2=-b_2) \land (a_1=b_1) \Rightarrow$ [/mm] ord$(a+b)=0$ und
[mm] $(a_2=-b_2) \land (a_1\neq b_1) \Rightarrow$ [/mm] ord$(a+b)=4$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Fr 02.11.2012 | | Autor: | kalifat |
Vielen Dank für deine Hilfe.
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