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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:12 Mi 15.12.2004 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten
(1) Sei (G, *) , eine Gruppe und seien a, b [mm] \in [/mm] G. Beweisen Sie:
(i) ord(a) = ord(a^-1)
(ii) ord(a * b) = ord (b*a)
(2) Seien (G, *) und (H,°) zwei Gruppen und f: G -> H ein Gruppenhomomorphismus.
Beweisen Sie: FÜr jedes Element a [mm] \in [/mm] G gilt: ord(a) = ord(f(a)). Gilt das auch für beliebige Gruppenhomomorphismen?
Zu (1): Handelt es sich dabei irgendas mit Bijektionen zu zeigen oder nicht? Wir haben in der Vorlesung bezüglich der Definition von Ordnung auch folgendes im Bezug auf permutationsgruppen aufgeschrieben: [mm] a^n [/mm] = e (mit n [mm] \in \IN [/mm] und n am kleinstmöglichen).
Gibt es einen Unterschied zwischen Mächtigkeit und Ordnung?
Zu (2): Soll ich den beweis für ord(a) = ord(f(a)) aus der Definition vom Gruppenhomomorphismus herleiten? Was soll die Frage gilt das auch für beliebige Gruppenmomomorphismen? (Fangfrage ?!?)
Danke für Ihre Hilfe.
MfG
Marc
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Di 21.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Ich habe mich schon öfters an die aufgabe gegeben, aber ich schaffe sie einfach nicht. Habe ich Tomaten auf den Augen oder fehlt hier der Zusatz, dass wir von abelschen Gruppen reden? Dann würde das ganze auch schön Sinn machen, denn dann könnte man wegen [mm] $(a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}$ [/mm] auch leicht aus i die Behauptung ii zeigen.
Ich hoffe auf Antwort  *gruppentheoriemag*
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Di 21.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Es gilt [mm]\left( a\circ b\right)^{ord\left( a\circ b\right)}=b^{-1}\circ \left( b\circ a\right) ^{ord\left(a\circ b\right)}\circ b=e[/mm].
> Daraus folgt [mm]\left( b\circ a\right) ^{ord\left(a\circ b\right)}=e[/mm]
> und somit [mm]ord\left( b\circ a\right)|ord\left( a\circ b\right)[/mm].
>
> Dies gilt allerdings auch, wenn wir in der gesamten
> Rechnung [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] vertauschen und [mm]ord\left( a\circ b\right)|ord\left( b\circ a\right)[/mm]
> erhalten. Zusammen folgt [mm]ord\left( a\circ b\right)=ord\left( b\circ a\right)[/mm].
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> *vorsichtigfragt*
>
> Wie mache ich das denn nun mit
> [mm]ord\left(a^{-1}\right)=ord(a)[/mm]?
Es gilt:
[mm] $(a^{-1})^{ord(a)} [/mm] = [mm] \left(a^{ord(a)} \right)^{-1} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] = e$,
wegen
[mm] $\underbrace{a^{-1} \circ \ldots a^{-1}}_{ord(a)-mal} \circ\ a^{ord(a)} [/mm] = e$.
Ähnlich zeigt man
[mm] $a^{ord(a^{-1})} [/mm] = [mm] \left((a^{-1})^{-1}\right)^{ord(a^{-1})} \left((a^{-1})^{ord(a^{-1})}\right)^{-1}= e^{-1} [/mm] = e$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Di 21.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
$ [mm] \underbrace{a^{-1} \circ \ldots a^{-1}}_{ord(a)-mal} \circ\ a^{ord(a)} [/mm] = e $.
Eine schöne Überlegung *merk* - damit ist alles klar!
Liebe Grüße und Danke,
Hanno
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![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
? 
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
