Ordnung von Permutation < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Do 23.02.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei $p$ eine Permutation, sei [mm] $p^k$ [/mm] die k-fache Anwendung von $p: [mm] X\Rightarrow [/mm] X .$
Die kleinste natürliche Zahl [mm] $k\ge [/mm] 1$ für die [mm] $p^k [/mm] = Id$ ist, nennen wir die Ordnung der Permutation p.
(a) Man bestimme die Ordnung der Permutation (231547896)
(b) Man zeige, dass die Ordnung jeder Permutation $p$ einer endlichen Menge wohldefiniert ist, und *man finde eine Methode, die Ordnung einer Permutation aus den Länger Ihrer Zyklen zu berechnen |
Ich verstehe erhlich gesagt nicht, was diese "völlig triviale" Aufgabe soll. Es ist doch für schon jeden Grundschüler ersichtlich, dass man hier nur die Zahlen abzählen muss, wenn es nur einen Zyklus gibt. Durch 9-facher Anwendung der Funktion ergibt sich doch [mm] $p^k(i) [/mm] = i$.
Das abzuzählen wurde als "Stern - Aufgabe" markiert - d.h. als "etwas schwieriger". Seid wann ist das reine Abzählen "schwierig"??
Ich denke eher, ich verstehe hier etwas nicht richtig. Was soll genau die Ordnung einer Permutation sein... Aus der Definition werde ich leider nicht schlauer.
Nehmen wir ein (selbstgedachtes) Beispiel:
Sei [mm] $(5412367)\in \mathcal{S}_7.$ [/mm] Man bestimme die Ordnung. Ich behaupte sie ist 7, weil nach sieben Schritten komme ich (da es nur einen Zyklus gibt) wieder zum Ausgangselement zurück... Warum kann also doch nicht die Ordnung 7 sein? Ich verstehe es leider nicht.... (neues Thema für mich)
Kann mir die Definition jemand anhand meines selbstgewählen Beispiels erläutern? Wäre Euch herzlich dankbar! 
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moin clemenum,
Doch, für einen einzigen Zykel ist das tatsächlich so einfach.
Das ist einer der schönen Vorteile der Zykelschreibweise.
Also sowohl die 9 in deiner Aufgabenstellung als auch die 7 sind richtig.
Hat eine Permutation mehrere Zykel, so ist es nicht ganz so einfach, vielleicht deshalb der Stern.
Aber dennoch lässt sich das gesuchte Verfahren sicher nach dem Betrachten einiger Beispiele ganz gut finden.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Do 23.02.2012 | | Autor: | donquijote |
Vielleicht verstehe ich die Schreibweise nicht richtig, aber so wie ich das sehe, gibt es bei der Permutation in (a) jeweils einen Zyklus der Länge 3, 2 und 4. Und dann ist die Ordnung der Permutation keineswegs 9.
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Da clemenum davon ausging und da in Teil b) von der Zykelschreibweise die Rede war, nehme ich mal ganz stark an die Permutation soll hier in Zykelschreibweise gemeint sein, also (231547896) steht nicht für 1->2, 2->3, 3->1,... (Listenschreibweise oder tabellarisch), sondern eben 2->3->1->5->...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:04 Fr 24.02.2012 | | Autor: | donquijote |
Aber da liegt vielleicht gerade das Problem, dass hier ein Missverständnis über die Notation vorliegt. Denn die Aufgabe ergibt deutlich mehr Sinn, wenn man die Permutation in Tupelschreibweise interpretiert.
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> Aber da liegt vielleicht gerade das Problem, dass hier ein
> Missverständnis über die Notation vorliegt. Denn die
> Aufgabe ergibt deutlich mehr Sinn, wenn man die Permutation
> in Tupelschreibweise interpretiert.
... i dem Fall isch halt der, wo die Ufgab gschtellt het,
e Bitz es Tubeli ...
Begriffserklärung:
Tubel (Deutsch)
Substantiv, m
Diminutiv, n, unbestimmt: es Tubeli
Bedeutungen:
schweizerisch, abwertend: einfältiger, ungeschickter und/oder
ignoranter Mensch, der nicht bemerkt, was um ihn herum passiert
Synonyme:
Idiot, Trottel;
(österreichisch) Hiefler, Wappler;
(österreichisch, süddeutsch) Lackel;
(österreichisch, südschweizerisch) Ochs;
(schweizerisch) Dubel, Galöri, Schlufi, Tschumpel
Im Gegensatz zur "Tupelschreibweise"
(2,3,1,5,4,7,8,9,6)
die allzu leicht mit der Zykelschreibweise
(2 3 1 5 4 7 8 9 6)
zu verwechseln ist (natürlich insbesondere, wenn
man die Kommas einfach weglässt)
wäre die "Matrixschreibweise"
[mm] \pmat{1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&3&1&5&4&7&8&9&6}
[/mm]
doch tubelisicher ...
LG Al-Chw.
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