Ordnung von a < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe. Seien a,b [mm] \in [/mm] G. Zeigen Sie die Behauptungen:
a) [mm] ord(a^{-1}) [/mm] = ord(a)
b) ord(ab) = ord(ba) |
Hi,
also an die a) bin ich folgendermaßen rangegangen:
Sei ord(a) = n, also [mm] a^{n} [/mm] = 1.
[mm] \underbrace{a*a*...*a}_{n} [/mm] = [mm] \underbrace{a^{-1}*a^{-1}*...*a^{-1}}_{n} [/mm] |*a
[mm] \underbrace{a*a*...*a}_{n-1}*a^{2} [/mm] = [mm] \underbrace{a^{-1}*a^{-1}*...*a^{-1}}_{n-1}
[/mm]
...
[mm] a^{n-1}*a^{n+1}=a^{2n}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Da n=ord(a), also [mm] a^{n} [/mm] =1 ist auch [mm] a^{2n} [/mm] = 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] Wahre Aussage. Behauptung stimmt.
(Das gleiche Prinzip auch für [mm] a^{-1} [/mm] anwenden)
b)
Hier habe ich ähnlich gestartet wie a):
Sei ord(ab)=n
[mm] \underbrace{ab*ab*...*ab}_{n}=\underbrace{ba*ba*...*ba}_{n}
[/mm]
Aber so ganz kann ich das nicht auf die b) übertragen, jedenfalls weiß ich nicht wie.
Ich habe mir noch überlegt, auf beiden Seiten mit [mm] (ab)^{-1}=(b^{-1}a^{-1}) [/mm] zu multiplizieren, aber das hilft mir auch nicht.
Wäre für einen Denkanstoß dankbar 
Ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 So 12.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
a) geht auch einfacher
[mm] \left(a^{-1}\right)^n=\left(a^{n}\right)^{-1}=1
[/mm]
b)
[mm] 1=(ab)^n=a(ba)^{n-1}b [/mm] also [mm] a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}=(ba)^{n-1} [/mm] also [mm] 1=(ba)^n
[/mm]
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Danke für die schnelle Antwort ullim
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