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Forum "Uni-Analysis" - Ordnungs-,Körperaxiome
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Ordnungs-,Körperaxiome: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Fr 28.10.2005
Autor: Reaper

Hallo wir haben folgenden Ausdruck, der Körper- sowie Ordnungsaxiome verbindet (es gilt die lineare Ordnung) bewiesen:

Leider hab ich da ein paar Schwierigkeiten:
zu beweisen:
1.)
[mm] \forall [/mm] x  [mm] \in [/mm] K: (x>0  [mm] \Rightarrow [/mm] -x<0)

Jetzt haben wir das Ganze über einen Widerspruchsbeweis gelöst:
x !> 0  [mm] \Rightarrow [/mm] -x=0  [mm] \vee [/mm] -x > 0

Wir haben also 2 Fälle zu unterscheiden:
1.Fall -x=0  [mm] \Rightarrow [/mm] 0 = x + (-x) (Körperaxiom 5 inverses Element) > 0 + 0 = 0  

Und 0 > 0 ist Blödsinn

Was ich aber nicht verstehe ist warum ich x + (-x) > 0 + 0 sagen darf. Wegen OK1 also x < y -> x+z < y+z?
Wenn dem so ist dann stimmt das Ganze aber nicht mit dem 2.Fall zusammen wo im Skript einfach dasteht dass der Fall genauso geht wie der
erste also 0>0...Widerspruch
Für 2.Fall:

0 = x + (-x) > 0 +(-x)  -> 0>-x  was stimmt? (glaub eher nicht)...-x kann man jetzt nicht einfach als 0 ansetzen da es > 0 ist.


anderer Beweis:
2.)
zu beweisen:

[mm] \forall \not= [/mm] 0: x² = x*x > 0 insbesondere 1>0

x > 0 -> (OK2) x²>0  ....klar

x<0 -> nach obigen Beweis (1.)    ...  (-x)>0  

Nun folgt x*x = (Haben wir schon bewiesen) (-x)*(-x) > 0

Hier kapier ich bei x<0 gar nichts. Wozu brauch ich die Aussage -x>0 und warum darf ich einfach die Vorzeichen vertauschen?
Und -x ist ja nicht >0. Wie komme ich dann auf
x*x = (-x)*(-x) > 0...die Zeile ist mir zwar klar aber wie komme ich da drauf?

mfg,
Hannes


        
Bezug
Ordnungs-,Körperaxiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Fr 28.10.2005
Autor: Stefan

Hallo Hannes!

> Hallo wir haben folgenden Ausdruck, der Körper- sowie
> Ordnungsaxiome verbindet (es gilt die lineare Ordnung)
> bewiesen:
>  
> Leider hab ich da ein paar Schwierigkeiten:
>  zu beweisen:
>  1.)
>   [mm]\forall[/mm] x  [mm]\in[/mm] K: (x>0  [mm]\Rightarrow[/mm] -x<0)
>  
> Jetzt haben wir das Ganze über einen Widerspruchsbeweis
> gelöst:
>  x !> 0  [mm]\Rightarrow[/mm] -x=0  [mm]\vee[/mm] -x > 0

>  
> Wir haben also 2 Fälle zu unterscheiden:
>  1.Fall -x=0  [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = x + (-x) (Körperaxiom 5
> inverses Element) > 0 + 0 = 0  
>
> Und 0 > 0 ist Blödsinn
>  
> Was ich aber nicht verstehe ist warum ich x + (-x) > 0 + 0
> sagen darf. Wegen OK1 also x < y -> x+z < y+z?

[ok]

>  Wenn dem so ist dann stimmt das Ganze aber nicht mit dem
> 2.Fall zusammen wo im Skript einfach dasteht dass der Fall
> genauso geht wie der
> erste also 0>0...Widerspruch
>  Für 2.Fall:
>  
> 0 = x + (-x) > 0 +(-x)  -> 0>-x  was stimmt? (glaub eher
> nicht)...-x kann man jetzt nicht einfach als 0 ansetzen da
> es > 0 ist.

Hier nutzt du die Regel [mm] $x_1>y_1, x_2 >y_2 \quad \Rightarrow \quad x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] > [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2$ [/mm] aus. Beachte, dass nach Voraussetzung $x>0$ gilt, und dass du in Fall 2 ja zudem $-x>0$ annimmst. Dies führt dann nach obiger Regel zu $x + (-x) > 0+0$, also zu $0>0$, Widerspruch.

Aber viel besser finde ich den Beweis, den du selber gegeben hast:

Aus $x>0$ folgt: $x+(-x) > 0 + (-x)$, also: $0>-x$.

Warum zeigt man es also nicht so direkt und stattdessen mit einem Widerspruchsbeweis? Das ist mir selber schleierhaft und erscheint mir in dem Skript umständlich zu sein...  

> anderer Beweis:
>  2.)
>  zu beweisen:
>
> [mm]\forall \not=[/mm] 0: x² = x*x > 0 insbesondere 1>0
>  
> x > 0 -> (OK2) x²>0  ....klar
>  
> x<0 -> nach obigen Beweis (1.)    ...  (-x)>0  
>
> Nun folgt x*x = (Haben wir schon bewiesen) (-x)*(-x) > 0
>  
> Hier kapier ich bei x<0 gar nichts. Wozu brauch ich die
> Aussage -x>0 und warum darf ich einfach die Vorzeichen
> vertauschen?

>  Und -x ist ja nicht >0.

Doch, im Falle $x<0$ (und um den ging es hier ja) schon...

> Wie komme ich dann auf
> x*x = (-x)*(-x) > 0...die Zeile ist mir zwar klar aber wie
> komme ich da drauf?

$x [mm] \cdot [/mm] x = (-x) [mm] \cdot [/mm] (-x)$ habt ihr ja bewiesen, wie du schreibst. Im Falle $x<0$ ist aber (siehe oben) $-x>0$, und daher auch: $(-x) [mm] \cdot [/mm] (-x)>0$.  

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Ordnungs-,Körperaxiome: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 So 30.10.2005
Autor: Reaper

Danke für die super Erklärung.

mfg,
Hannes

Bezug
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