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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Lisa-19 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Teilerrelation für a,b [mm] \in [/mm] IN
aRb : <--> a|b
eine Ordnungsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen ist. |
1) reflexiv
a|a, also 3:3 --> reflexiv
Beweis: zzg. a|a
<--> [mm] \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] IN: a= z [mm] \cdot [/mm] a mit z= 1
--> a = 1 [mm] \cdot [/mm] a
<--> a=a
Aussage ist wahr, also reflexiv
2) antisymmetrisch
wenn a=b, dann kann man a|a betrachten, also antsymmetrisch
Beweis:
zzg. a|b und b|a --> a = b
[mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] IN und [mm] \exists [/mm] p [mm] \in [/mm] IN : b= k [mm] \cdot [/mm] a und a = p [mm] \cdot [/mm] b
--> b = k [mm] \cdot [/mm] (p [mm] \cdot [/mm] b)
--> b = k [mm] \cdot [/mm] p [mm] \cdot [/mm] b
also muss k [mm] \cdot [/mm] p = 1 sein, also k =p=1 (Kann ich das so machen? es könnte ja auch k=0.5 und p=2 sein und nicht unbedingt 1?)
also a =b
3)transitiv
Beweis: zzg. a|b und b|c --> a|c
[mm] \exists [/mm] k,p [mm] \in [/mm] IN: b = k [mm] \cdot [/mm] a und c = p [mm] \cdot [/mm] b
--> c = p [mm] \cdot [/mm] ( k [mm] \cdot [/mm] a)
--> c= p [mm] \cdot [/mm] k [mm] \cdot [/mm] a
p [mm] \cdot [/mm] k := q
--> [mm] \exists [/mm] q [mm] \in [/mm] IN : c = q [mm] \cdot [/mm] a
<--> a|c
Meine Frage ist nun, ob die Beweise so richtig sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lisa!
> Zeigen Sie, dass die Teilerrelation für a,b [mm]\in[/mm] IN
> aRb : <--> a|b
> eine Ordnungsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen
> ist.
> 1) reflexiv
> a|a, also 3:3 --> reflexiv
> Beweis: zzg. a|a
> <--> [mm]\exists[/mm] z [mm]\in[/mm] IN: a= z [mm]\cdot[/mm] a mit z= 1
> --> a = 1 [mm]\cdot[/mm] a
> <--> a=a
> Aussage ist wahr, also reflexiv
Das stimmt.
> 2) antisymmetrisch
> wenn a=b, dann kann man a|a betrachten, also
> antsymmetrisch
Den Teil verstehe ich nicht... wenn $a = b$, dann kann man $a|a$ betrachten? Aber was Du unter "Beweis" schreibst ist wirklich das, was zu zeigen ist.
> Beweis:
> zzg. a|b und b|a --> a = b
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] IN und [mm]\exists[/mm] p [mm]\in[/mm] IN : b= k [mm]\cdot[/mm] a und a
> = p [mm]\cdot[/mm] b
> --> b = k [mm]\cdot[/mm] (p [mm]\cdot[/mm] b)
> --> b = k [mm]\cdot[/mm] p [mm]\cdot[/mm] b
>
> also muss k [mm]\cdot[/mm] p = 1 sein, also k =p=1 (Kann ich das
> so machen? es könnte ja auch k=0.5 und p=2 sein und nicht
> unbedingt 1?)
>
> also a =b
Wichtig ist hier, dass $k$ und $p$ ebenfalls natürliche Zahlen sind. Und für alle natürlichen Zahlen gilt zum Beispiel $a [mm] \leq [/mm] a [mm] \cdot [/mm] b$ mit $a = a [mm] \cdot [/mm] b$ genau dann wenn $b = 1$ gilt. Dies für die entsprechenden Werte eingesetzt liefert Dir die Behauptung sofort.
> 3)transitiv
> Beweis: zzg. a|b und b|c --> a|c
> [mm]\exists[/mm] k,p [mm]\in[/mm] IN: b = k [mm]\cdot[/mm] a und c = p [mm]\cdot[/mm] b
> --> c = p [mm]\cdot[/mm] ( k [mm]\cdot[/mm] a)
> --> c= p [mm]\cdot[/mm] k [mm]\cdot[/mm] a
> p [mm]\cdot[/mm] k := q
> --> [mm]\exists[/mm] q [mm]\in[/mm] IN : c = q [mm]\cdot[/mm] a
> <--> a|c
Auch das stimmt.
> Meine Frage ist nun, ob die Beweise so richtig sind.
Wie gesagt: im Prinzip ist das in Ordnung, bei Teil 2) sollte vielleicht noch eine kleine Begründung hin.
Liebe Grüße,
Lars
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