Ordnungsrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Welche eigenschaft muss eine natürliche Zahl erfüllen, deren Teilermenge linear geordnet ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So:
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann muss ich [mm] n\in\IN [/mm] so eingrenzen, dass alle Teiler t von n vielfache von kleineren Teilern von n sind und es ein [mm] k\in\IN [/mm] gibt, sodass k*t alle größeren Teiler beschreibt oder?
So jetzt hab ich mir überlegt, dass dies ja auf alle Zahlen zutrifft, welche duch [mm] p^n [/mm] mit [mm] p\in\(P [/mm] und [mm] n\in\IN\cup \{0\} [/mm] , wobei P die Menge aller Primzahlen ist.
Ist das dies der richtige Ansatz? oder bin ich da voll aufm Falschen weg?
mfg Yuu
|
|
| |
|
> Welche Eigenschaft muss eine natürliche Zahl erfüllen,
> deren Teilermenge linear geordnet ist?
> ......
> ......
> So jetzt hab ich mir überlegt, dass dies ja auf alle
> Zahlen zutrifft, welche duch [mm]p^n[/mm] mit [mm]p\in\(P[/mm] und
> [mm]n\in\IN\cup \{0\}[/mm] , wobei P die Menge aller Primzahlen
> ist.
>
> Ist das dies der richtige Ansatz?
Ja. Dass eine Zahl n der Form [mm] n=p^k [/mm] eine linear geord-
nete Teilermenge hat, ist leicht zu zeigen.
Bliebe noch zu zeigen, dass die Teilermenge nicht
linear geordnet ist, wenn n mehr als einen Primteiler
hat.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Ja. Dass eine Zahl n der Form $ [mm] n=p^k [/mm] $ eine linear geord-
> nete Teilermenge hat, ist leicht zu zeigen.
dürfte kein Problem sein.
> Bliebe noch zu zeigen, dass die Teilermenge nicht
> linear geordnet ist, wenn n mehr als einen Primteiler
> hat.
Ähm ergibt sich das nicht von selbst, denn wenn es mehr als einen Primteiler gibt, sagen wir mal p ist der eine und k der andere ist ja durch die Def einer Primzahl schon bestimmt dass: [mm] \bruch {p}{k}\not\in\IN [/mm] noch [mm] \bruch{k}{p}\not\in\IN [/mm]
Also ist ja die Zusatz Bedingung für eine lineare Ordnungsrelation nicht erfüllt.
Ist dass schon der fertig Bewis?
mfg Yuu
|
|
|
| |
|
> > Ja. Dass eine Zahl n der Form [mm]n=p^k[/mm] eine linear geord-
> > nete Teilermenge hat, ist leicht zu zeigen.
>
> dürfte kein Problem sein.
>
> > Bliebe noch zu zeigen, dass die Teilermenge nicht
> > linear geordnet ist, wenn n mehr als einen Primteiler
> > hat.
>
> Ähm ergibt sich das nicht von selbst, denn wenn es mehr
> als einen Primteiler gibt, sagen wir mal p ist der eine und
> k der andere ist ja durch die Def einer Primzahl schon
> bestimmt dass: [mm]\bruch {p}{k}\not\in\IN[/mm] noch
> [mm]\bruch{k}{p}\not\in\IN[/mm]
> Also ist ja die Zusatz Bedingung für eine lineare
> Ordnungsrelation nicht erfüllt.
> Ist dass schon der fertig Bewis?
> mfg Yuu
Naja, auch dieser Teil des Beweises ist leicht. Es geht
nur darum, alles klar aufzuschreiben. Zuallererst: die
Relation innerhalb der Teilermenge klar definieren,
welche dann zur Ordnungsrelation wird. Und dann
deren genaue Eigenschaften nachweisen, welche dann
zeigen sollen, dass die Ordnung "linear" oder eine
"Totalordnung" ist.
LG
|
|
|
| |
|
> > > Ja. Dass eine Zahl n der Form [mm]n=p^k[/mm] eine linear geord-
> > > nete Teilermenge hat, ist leicht zu zeigen.
> >
> > dürfte kein Problem sein.
> >
> > > Bliebe noch zu zeigen, dass die Teilermenge nicht
> > > linear geordnet ist, wenn n mehr als einen
> Primteiler
> > > hat.
> >
> > Ähm ergibt sich das nicht von selbst, denn wenn es mehr
> > als einen Primteiler gibt, sagen wir mal p ist der eine und
> > k der andere ist ja durch die Def einer Primzahl schon
> > bestimmt dass: [mm]\bruch {p}{k}\not\in\IN[/mm] noch
> > [mm]\bruch{k}{p}\not\in\IN[/mm]
> > Also ist ja die Zusatz Bedingung für eine lineare
> > Ordnungsrelation nicht erfüllt.
> > Ist dass schon der fertig Bewis?
> > mfg Yuu
>
>
> Naja, auch dieser Teil des Beweises ist leicht. Es geht
> nur darum, alles klar aufzuschreiben. Zuallererst: die
> Relation innerhalb der Teilermenge klar definieren,
> welche dann zur Ordnungsrelation wird. Und dann
> deren genaue Eigenschaften nachweisen, welche dann
> zeigen sollen, dass die Ordnung "linear" oder eine
> "Totalordnung" ist.
>
> LG
>
Ok, da wir in der Vorlesung aber schon gezeigt haben, dass auf [mm] \IN [/mm] eine Ordnungsrelation im Bezug auf Teiler gilt, muss ich es ja für die Teilmenge die hier definiert wurde eigentlich nicht mehr zeigen oder?
Ich muss doch jetzt nur noch zeigen, dass sie linear angeordnet ist und dass alle die nicht in der Menge sind nicht linear angeordnet sind oder?
Vielen Dank schon einmal, hab immer so meine Schwierigkeiten herauszufinden was ich genau beweisen muss und was nicht xD
mfg
|
|
|
| |
|
> Ok, da wir in der Vorlesung aber schon gezeigt haben, dass
> auf [mm]\IN[/mm] eine Ordnungsrelation im Bezug auf Teiler gilt,
Etwas genauer: die Relation [mm] T(x,y):\gdw [/mm] x ist Teiler von y
legt eine "Halbordnung" auf [mm] \IN [/mm] fest.
> muss ich es ja für die Teilmenge die hier definiert wurde
> eigentlich nicht mehr zeigen oder?
OK; die Halbordnungseigenschaften übertragen sich
auch auf die auf eine Teilmenge beschränkte Relation.
> Ich muss doch jetzt nur noch zeigen, dass sie linear
> angeordnet ist und dass alle die nicht in der Menge sind
> nicht linear angeordnet sind oder?
Also betrachte die beiden Fälle:
1.) [mm] n=p^k [/mm] mit p prim und [mm] k\in\IN
[/mm]
---> Teilermenge $\ [mm] D_1=\{p^{i}\ |\ 0\le i\le k\ \}$
[/mm]
2.) $\ [mm] n=p_1*p_2*r$ [/mm] mit verschiedenen Primzahlen [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] r\in\IN
[/mm]
---> Teilermenge $\ [mm] D_2=\{1,p_1,p_2,\,.....\,,r,\,.....\,,n\ \}$
[/mm]
und zeige, dass [mm] D_1 [/mm] durch T linear geordnet wird, [mm] D_2 [/mm] aber nicht.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
