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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Do 03.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien $X_1,\hdots,X_n$ unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F, $0<p<q<1, 1\leq r<s\leq n, Q_p:=F^{-1}(p)$.
Zeige:
$P(X_{(r)}<Q_p<X_{(s)})\leq \sum_{k=r}^{s-1}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ |
Nabend, ich habe mir was überlegt, verstehe aber nicht, wo das $\leq$ herkommt.
$F_{X_{(r)}}(Q_p)&=P(X_{(r)}\leq Q_p)$
$=P(X_{(r)}\leq Q_p, X_{(s)}\geq Q_p)+P(X_{(r)}\leq Q_p, X_{(s)}<Q_p)$
$=P(X_{(r)}\leq Q_p\leq X_{(s)})+P(X_{(s)}<Q_p)$
$=P(X_{(r)}\leq Q_p\leq X_{(s)})+P(X_{(s)}\leq Q_p)$
$=P(X_{(r)}\leq Q_p\leq X_{(s)})+F_{X_{(s)}(Q_p)$
Also
$P(X_{(r)}\leq Q_p\leq X_{(s)})=F_{X_{(r)}}(Q_p)-F_{X_{(s)}}(Q_p)$
Ich weiß (und hatte auch schonmal bewiesen), daß
$F_{X_{(i)}}(x)=\sum_{j=i}^{n}\binom{n}{j}(F(x))^{j}(1-F(x))^{n-j}$
Also geht's oben weiter mit:
$=\sum_{j=r}^{n}\binom{n}{j}(F(Q_p))^{j}(1-F(Q_p))^{n-j}-\sum_{j=s}^{n}\binom{n}{j}(F(Q_p))^{j}(1-F(Q_p))^{n-j}$
Dies ist
$=\sum_{j=r}^{s-1}\binom{n}{j}p^{j}(1-p)^{n-j}$,
da $F(Q_p)=p$.
Okay, aber wo kommt das $\leq$ her?
Ich habe doch jetzt GLEICHHEIT gezeigt?
Oder folgt aus GLEICHHEIT insbesondere das $\leq$?
Denn die zu beweisende Aussage ist ja, daß der Ausdruck linker Hand kleiner oder gleich dem Ausdruck rechter Hand ist. Und bei einem "Oder" genügt es ja, wenn eine der Aussagen zutrifft (hier, daß Gleichheit gilt).
Sehe ich das korrekt? Stimmt der Beweis?
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich habe hier anscheinend vorausgesetzt, daß F stetig ist, was es aber nicht ist, daher ist der Beweis wohl falsch?
Aber wie kann man das denn dann beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Fr 04.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Seien [mm]X_1,\hdots,X_n[/mm] unabhängig identisch verteilte
> Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F, [mm]0
>
> Zeige:
>
> [mm]P(X_{(r)}
Muss es nicht $ [mm] P(X_{(r)}
>
>
>
> Nabend, ich habe mir was überlegt, verstehe aber nicht, wo
> das [mm]\leq[/mm] herkommt.
>
>
> [mm]F_{X_{(r)}}(Q_p)&=P(X_{(r)}\leq Q_p)[/mm]
>
> [mm]=P(X_{(r)}\leq Q_p, X_{(s)}\geq Q_p)+P(X_{(r)}\leq Q_p, X_{(s)}
>
> [mm]=P(X_{(r)}\leq Q_p\leq X_{(s)})+P(X_{(s)}
>
> [mm]=P(X_{(r)}\leq Q_p\leq X_{(s)})+P(X_{(s)}\leq Q_p)[/mm]
>
> [mm]=P(X_{(r)}\leq Q_p\leq X_{(s)})+F_{X_{(s)}(Q_p)[/mm]
>
> Also
>
> [mm]P(X_{(r)}\leq Q_p\leq X_{(s)})=F_{X_{(r)}}(Q_p)-F_{X_{(s)}}(Q_p)[/mm]
>
>
>
> Ich weiß (und hatte auch schonmal bewiesen), daß
>
> [mm]F_{X_{(i)}}(x)=\sum_{j=i}^{n}\binom{n}{j}(F(x))^{j}(1-F(x))^{n-j}[/mm]
>
> Also geht's oben weiter mit:
>
> [mm]=\sum_{j=r}^{n}\binom{n}{j}(F(Q_p))^{j}(1-F(Q_p))^{n-j}-\sum_{j=s}^{n}\binom{n}{j}(F(Q_p))^{j}(1-F(Q_p))^{n-j}[/mm]
>
> Dies ist
>
> [mm]=\sum_{j=r}^{s-1}\binom{n}{j}p^{j}(1-p)^{n-j}[/mm],
>
> da [mm]F(Q_p)=p[/mm].
>
>
> Okay, aber wo kommt das [mm]\leq[/mm] her?
>
> Ich habe doch jetzt GLEICHHEIT gezeigt?
Okay fuer den stetig Fall. Fuer den diskreten Fall siehe David, Seite 15-16.
vg Luis
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