Orientierung auf Mannigfaltigk < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:48 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Sarah_P |
| Aufgabe | Sei M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von [mm] \IR [/mm] ^n und P eine Familie von Parametrisierungen mit folgenden Eigenschaften:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] f [mm] \in [/mm] P sd. f lokale Parametrisierung von M um x.
fuer beliebige fi: Wi [mm] \to [/mm] M (i=1,2) in P gilt: [mm] det(d_{z} (f_{2} [/mm] ^-1 [mm] \circ f_{1})) [/mm] > 0 fuer jedes z e [mm] W_{2} [/mm] mit [mm] f_{1} \in f_{1} (W_{1}) \cap f_{2} (W_{2})
[/mm]
Zeige: [mm] \exists [/mm] ! Orientierung von M, sd jedes f orientierungserhaltend ist.
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Die Loesung lautet:
[mm] \mu_{z} [/mm] (Orientierung) wird definiert als [ [mm] d_{ f^{-1} (z)} f(e_{1}), [/mm] .... , [mm] d_{ f^{-1} (z)} f(e_{k})]
[/mm]
Dies ist wohldefiniert, da: [ d( [mm] f_{1}^{-1} \circ f_{2}) (e_{1}),...., [/mm] d( [mm] f_{1}^{-1} \circ f_{2}) (e_{k})] [/mm] = [ [mm] d_{z} f_{1}^{-1} \circ d_{f_{2}^{-1} (z)} f_{2} (e_{1}), [/mm] ...., [mm] d_{z} f_{1}^{-1} \circ d_{f_{2^{-1} (z)} } f_{2} (e_{k})] [/mm] = [mm] [e_{1},..., e_{k}] [/mm] und sommit ist [mm] \mu_{z} [/mm] wohldefiniert und Orientierung.
Ich verstehe die einzelnen Schritte ueberhaupt nicht, koennte mir das jemand mit Zwischenschritten erklaeren? Muesste man nicht noch die Eindeutigkeit der Orientierung zeigen?
Herzlichen Dank fuer Hinweise!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\mu_{z}[/mm] (Orientierung) wird definiert als [ [mm]d_{ f^{-1} (z)} f(e_{1}),[/mm]
> .... , [mm]d_{ f^{-1} (z)} f(e_{k})][/mm]
Wie habt ihr denn Orientierung genau definiert eigentlich?
SEcki
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:23 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Sarah_P |
Schon auch sehr ähnlich: [mm] [d_{z} f(e_{1}), ...,d_{z} f(e_{k})]
[/mm]
und zu zeigen wäre [mm] üd_{z} f(e_{1}), ...,d_{z} f(e_{k})] [/mm] = [mm] \mu_{f(z)} \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] M, also das unabhängig von der Parametrisierung. Ich verstehe aber schon die einzelnen Umformungen nicht :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Schon auch sehr ähnlich: [mm][d_{z} f(e_{1}), ...,d_{z} f(e_{k})][/mm]
Und was heißt das nun wieder?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Sarah_P |
Die Äquivalenzklasse ist gerade die Orientierung, die zugehörige Äquivalenzrelation: zwei Vektoren sind in derselben Äquivalenzklasse, wenn ihre Transformationsmatrix positive Determinante hat. Also für wi= [mm] \summe_{i=1}^{n} v_{j} \lambda_{j} [/mm] ist das die Matrix mit den Koeffizienten [mm] \lambda_{j} [/mm] als Einträge.
Also ich habe mir überlegt, das zweite Gleichungszeichen könnte daherstammen. Das wir ja nach Voraussetzung positive Determinante haben und die Determinante der Einheitsmatrizen auch positiv ist... Damit wären wir in derselben Äquivalenzklasse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Die Äquivalenzklasse ist gerade die Orientierung, die
> zugehörige Äquivalenzrelation: zwei Vektoren sind in
> derselben Äquivalenzklasse, wenn ihre Transformationsmatrix
> positive Determinante hat. Also für wi= [mm]\summe_{i=1}^{n} v_{j} \lambda_{j}[/mm]
> ist das die Matrix mit den Koeffizienten [mm]\lambda_{j}[/mm] als
> Einträge.
Das macht im mehrdimensionalen keinen Sinn - zwischen zwei Vektoren gibt es im Falle [m]n\ge 2[/m] immer eine positive Transformation. Wahrscheinlicher scheint mir, dass hier n geordnete Vektoren gemeint sind - die sind dann zu anderen n Vektoren äquivalent, falls eine Transformationsmatrix mit positiver Determinante existiert.
> Also ich habe mir überlegt, das zweite Gleichungszeichen
> könnte daherstammen. Das wir ja nach Voraussetzung positive
> Determinante haben und die Determinante der
> Einheitsmatrizen auch positiv ist... Damit wären wir in
> derselben Äquivalenzklasse.
So ähnlich ist das schon - kommt immer bisschen auf die genaue Definition von Orientierung ab!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 21.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 23.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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