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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Zu der Matrix A:= [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & -1 } \in M(4x4,\IR) [/mm] haben wir die Bilinearform auf [mm] \IR^{4}
[/mm]
b: [mm] \IR^{4} [/mm] x [mm] \IR^{4} \to \IR, ((x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}),(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})) \mapsto (x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}) [/mm] A [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4}}
[/mm]
a. Bestimmen Sie das [mm] cp_{A}
[/mm]
b. Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis des symmetrischen bilinearen Raums [mm] (\IR^{4},b)
[/mm]
c. Bestimmen Sie Untervektorräume [mm] U_{+}, U_{-}, U_{0} [/mm] von [mm] \IR^{4}, [/mm] so dass gelten
i) [mm] \IR^{4} [/mm] = [mm] U_{+} \perp U_{-} \perp U_{0} [/mm] (bezüglich b)
ii) [mm] b|_{U_{+}} [/mm] ist positiv definit, [mm] b|_{U_{-}} [/mm] ist negativ definit, [mm] b|_{U_{0}}=0 [/mm] |
Hallo,
also das [mm] cp_{A} [/mm] habe ich bestimmt. Jetzt muss ich ja bei b zuerst die Eigenvektoren bestimmen. Habe ich auch gemacht. Aber ist das direkt die Orthogonalbasis, oder muss ich bei dem Eigenwert, wo ich zwei Eigenvektoren finde, zuerst noch etwas anderes machen um die Orthogonalbasis zu bekommen? Sowas ähnliches wie das Gram-Schmidt-Verfahren für die Orthonormalbasis? Oder war's das schon dann wenn ich die 4 Eigenvektoren haben?
Gruß Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> also das [mm]cp_{A}[/mm] habe ich bestimmt. Jetzt muss ich ja bei b
> zuerst die Eigenvektoren bestimmen. Habe ich auch gemacht.
> Aber ist das direkt die Orthogonalbasis, oder muss ich bei
> dem Eigenwert, wo ich zwei Eigenvektoren finde, zuerst noch
> etwas anderes machen um die Orthogonalbasis zu bekommen?
> Sowas ähnliches wie das Gram-Schmidt-Verfahren für die
> Orthonormalbasis? Oder war's das schon dann wenn ich die 4
> Eigenvektoren haben?
Ich denke du hast da jetzt was durcheinander. Die Eigenvektoren haben damit erstmal nix zu tun. Es geht darum eine Basis [mm] $\{b_i\}$ [/mm] von [mm] $\IR^4$ [/mm] zu finden, sodass [mm] $b(b_i,b_j)=0$ [/mm] für [mm] $i\ne [/mm] j$ ist. Das macht man mit dem Gram-Schmidt-Algorithmus, nur dass du jetzt nicht das normale Standartskalarprodukt dabei benutzen musst, sondern $b$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Elfe |
Hmm die haben damit nix zu tun? Weil in der Lösung meines Tutors stehen nämlich die Eigenvektoren als eben diese Orthogonalbasis. Ist das dann in diesem Fall Zufall? Ich bin ganz verwirrt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hmm die haben damit nix zu tun? Weil in der Lösung meines
> Tutors stehen nämlich die Eigenvektoren als eben diese
> Orthogonalbasis. Ist das dann in diesem Fall Zufall? Ich
> bin ganz verwirrt!
Tut mir Leid, ich habe mich wiedermal geirrt, war wohl etwas voreilig. Ich habe es jetzt nachgerechnet, es stimmt in diesem Fall und es ist auch kein Zufall.
Ich bin etwas durcheinander gekommen weil man ja einmal den Endomorphismus [mm] $\alpha:\IR^4\ni x\mapsto Ax\in \IR^4$ [/mm] hat und zum anderen die sym. Bilinearform [mm] $\gamma:\IR^4\times\IR^4\ni(x,y)\mapsto x^tBy\in \IR$. [/mm] Diese beiden Dinge haben ja erstmal nicht viel miteinander zu tun, aber in diesem speziellen Fall, wo $A=B$ ist, klappt es eben (du kannst dir ja mal den Beweis überlegen, falls dus nicht schon getan hast, ist ganz hübsch).
Ok du siehst man lernt nie aus. Jedenfalls musst du natürlich wie vorhin auch die Eigenvektoren, die zu einem Eigenwert gehören, ggf. noch orthogonalisieren, falls das nicht schon der Fall ist, aber das ist dann wirklich Zufall.
Gruß, Robert
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