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| Aufgabe | Bestimme eine Orthogonalbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] bezüglich der durch die Matrix
[mm] \pmat{ 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 0}
[/mm]
gegebenen symmetrischen Bilinearform. |
Hallo!
Ich stehe bei der obigen Aufgabe ein wenig auf dem Schlauch.
Das Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren hatten wir noch nicht. Ich versuchte es bereits vergebens mit Gauß-Jordan-Verfahren. Das sieht dann so aus:
[mm] \pmat{ 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 0} [/mm] steht auf der linken Seite und [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
auf der rechten Seite.
Dann forme ich die linke Seite solange um, bis sie Dreiecksform hat. Die rechte Seite forme ich dann auch um.
Da müsste eigentlich [mm] S^{t} [/mm] herauskommen, aber das stimmt nicht, denn es gilt dann nich [mm] S^{t}*A*S=diag
[/mm]
Kann mir vllt jemand dieses Verfahren erläutern oder mir sagen was ich falsch mache?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Gruß Lance
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Hallo.
Was du da mit dem Gauss-Jordan Verfahren berechnest, ist die Inverse deiner gegebenen Matrix.
Die beste und einzig mir bekannte methode, um deine Orthogonal- bzw Orthonormalbasis zu berechnen ist mit deinem erwähnten Gram-Schmid-Orthogonalisierungsverfahren, welches aber sehr einfach ist
Hier ein Link: ![[]](/images/popup.gif) Gram-Schmid-Orthogonalisierungsverfahren
Viel Erfolg.
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> Bestimme eine Orthogonalbasis des [mm]\IR^{3}[/mm] bezüglich der
> durch die Matrix
>
> [mm]\pmat{ 4 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 0}[/mm]
>
> gegebenen symmetrischen Bilinearform.
Hallo,
bestimme die Eigenwerte der Matrix und die zugehörigen Eigenwerte.
Falls Du drei verschiedene Eigenwerte bekommst, sind die zugehörigen Eigenvektoren automatisch orthogonal, denn wir haben es mit einer symmetrischen Matrix zu tun.
Bei symmetrischen Matrizen sind die EV zu verschiedenen EWen orthogonal.
Wenn Du Pech hast, und die drei Eigenwerte nicht verschieden sind, mußt Du ggf. innerhalb der Eigenräume orthogonalisieren, das sehen wir dann ja.
Hast Du die Matrix richtig abgetippt? Der Rechner hat mir zwar drei verschiedene, aber etwas ungemütliche Eigenwerte ausgespuckt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Do 21.05.2009 | | Autor: | Lance1987 |
Ja die Matrix hab ich richtig abgetippt. Die Eigenwerte waren in der Tat ziemlich blöd zum rechnen.
Ich habe es aber doch noch einmal mit dem Rechenverfahren
(das ich anfangs erwähnt habe) versucht, und ich bin dann doch noch auf die Matrix S gekommen, für die [mm] S^{t}*A*S=diag [/mm] gilt.
Danke für eure Hilfe.
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> Ich habe es aber doch noch einmal mit dem Rechenverfahren
> (das ich anfangs erwähnt habe) versucht, und ich bin dann
> doch noch auf die Matrix S gekommen, für die [mm]S^{t}*A*S=diag[/mm]
> gilt.
Hallo,
das wundert mich aber, denn anfangs hattest Du Dich doch angeschickt, mit Gauß die inverse Matrix zur gegebenen zu berechnen, oder hab' ich da was falsch verstanden?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Lance1987 |
Ähm nein ich habe damit keine Inverse berechnet.
Ich habe die linke Seite lediglich auf obere Dreiecksgestalt gebracht. Die rechte Seite war dann auf unterer Dreiecksgestalt
Wenn ich die Inverse berechnet hätte, dann würde auf der linken Seite die Einheitsmatrix stehen. Das war aber nicht der Fall.
Gruß Lance
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> Ähm nein ich habe damit keine Inverse berechnet.
> Ich habe die linke Seite lediglich auf obere
> Dreiecksgestalt gebracht. Die rechte Seite war dann auf
> unterer Dreiecksgestalt
> Wenn ich die Inverse berechnet hätte, dann würde auf der
> linken Seite die Einheitsmatrix stehen. Das war aber nicht
> der Fall.
Hallo Lance oder wer auch immer es weiß,
wie heißt denn dieser Algorithmus, mit dem ich zu einer symmetrischen (positiv definiten?) Bilinearform eine OGB berechnen kann, ohne daß ich die Eigenwerte benötige?
(Bzw. geht der, oder in welchem handelsüblichen Buch kann ich das nachlesen?)
Müßte ja was Choleskyartiges sein, oder?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 30.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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