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Hallo zusammen
Ich habe da mal wieder eine Frage.
Wenn ich nun eine Matrix bezüglich einer Bilinearform habe. Diese Matrix ist nicht positiv definit (da nicht alle Eigenwerte >0 sind).
Wie finde ich denn dann eine Orthogonalbasis?
In den Übungen hatten wir dies einige Male, und da haben wir einfach immer [mm] =x^t*A*y [/mm] als Skalarprodukt bei Gram Schmidt genommen.
Aber:
Für Gram-Schmidt benötige ich doch ein Skalarprodukt. Aber ein Skalarprodukt muss positiv definit sein...und dies ist meine Matrix/Bilinearform ja nicht!
Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Di 09.09.2014 | | Autor: | hippias |
Wenn ich Deine Frage richtig verstehe: die einzige Stelle bei Gram-Schmidt, wo man die positive Definitheit benoetigt, ist beim Normierungsschritt, bei dem Du mit [mm] $\frac{1}{\sqrt{}}$ [/mm] multiplizierst. Lasse diesen Schritt einfach aus. Die weiteren Schritte gehen dann zwar nicht ganz so glatt, eben weil die Vektoren nicht mehr normiert sind, das Verfahren liefert Dir aber in der Regel noch immer eine Orthogonalbasis. Vielleicht zeigst Du einmal ein Beispiel.
Uebrigens: Sollte Deine Bilinearform ausgeartet sein, dann finde erst ein Vektorraumkomplement zum Radikal. Dann schraenkst Du die Form auf das Komplement ein und verfaehrst wie oben.
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