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| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis von [mm] \IR^{2} [/mm] bezüglich [mm] b(x,y)=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}. [/mm] |
Hallo zusammen.
Ich habe bei der Aufgabe etwas Probleme. Das erste und wichtigste wäre wohl dass b kein Skalarprodukt ist, da ja zum Beispiel [mm] b(\vektor{1\\-1},\vektor{1\\-1}) [/mm] = -2 < 0 ist.
Ich frage mich nun ob man überhaupt eine OGB bilden kann, wenn es kein Skalarprodukt ist. Ich habe versucht das Gram-Schmidt Verfahren zu nutzen, scheiterte allerdings, als [mm] b(e_{1},e_{1}) [/mm] = 0 war.
sicherlich kann man einfach durch überlegen z.B. [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] finden die offensichtlich linear Unabhängig sind und auch in b eingesetzt null ergeben, aber kann man das dann trotzdem orthogonal nennen?
Grüße und Dank im Voraus
mathezwerg
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> Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis von [mm]\IR^{2}[/mm] bezüglich
> [mm]b(x,y)=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}.[/mm]
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> Hallo zusammen.
> Ich habe bei der Aufgabe etwas Probleme. Das erste und
> wichtigste wäre wohl dass b kein Skalarprodukt ist, da ja
> zum Beispiel [mm]b(\vektor{1\\
-1},\vektor{1\\
-1})[/mm] = -2 < 0
> ist.
Hallo,
aber orthogonal ist ja auch nicht nur für Skalarprodukte definiert, sondern allgemeiner für symmetrische Bilinearformen.
> Ich frage mich nun ob man überhaupt eine OGB bilden kann,
> wenn es kein Skalarprodukt ist. Ich habe versucht das
> Gram-Schmidt Verfahren zu nutzen, scheiterte allerdings,
> als [mm]b(e_{1},e_{1})[/mm] = 0 war.
Ja, für Gram-Schmidt braucht man eine positiv definite symmetrische Bilinearform, das wird hier also nicht klappen.
> sicherlich kann man einfach durch überlegen z.B.
> [mm]\vektor{1 \\
-1}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\
1}[/mm] finden die
> offensichtlich linear Unabhängig sind und auch in b
> eingesetzt null ergeben, aber kann man das dann trotzdem
> orthogonal nennen?
Ja, es entspricht doch der Definition von orthogonal, also sind die beiden orthogonal.
LG Angela
> Grüße und Dank im Voraus
> mathezwerg
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