Orthogonale Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Do 09.07.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Ich habe vor ein paar Tagen die Frage schon einmal ins Forum gestellt, aber leider hat mir niemand geantwortet. Ich versuche es nocheinmal:
Es geht um orthogonale Gruppen in [mm] R^{3}: [/mm]
[mm] O(3):=\{A \in GL_n(R): AA^{t}=I_3 \}
[/mm]
Die darstellende Matrix der orthogonalen Abbildung f hat die Gestalt:
A(f) = [mm] \pmat{\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \* & \* \\ 0 & \* & \*}
[/mm]
Fragen:
ich fasse die [mm] \* [/mm] zur Matrix B zusammen.
1. Warum muss gelten B [mm] \in [/mm] O(2)?
2. Was kann ich allgemein über die Abbildung A sagen? Kann ich z.B. auch wieder argumentieren: wenn detA=+1 ist (also [mm] \lambda= [/mm] +1 und detB = +1 oder [mm] \lambda [/mm] = -1 und detB= -1) ist A eine Drehung und wenn detA=-1 (also [mm] \lambda [/mm] = +1, detB = -1 oder [mm] \lambda [/mm] = -1, detB=+1) ist A eine Spiegelung an einer Ebene?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Fr 10.07.2009 | | Autor: | moerni |
Mir ist gerade aufgefallen: ist es so, dass für n=3 jede Spiegelung eine Drehung um 180° ist, kann das sein? Stimmt das für alle Vektorräume? Dann muss ich ja gar nicht mehr mit der Determinante argumentieren...
Grüße, moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Fr 10.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine rechte Hand ist in [mm] R^3 [/mm] das Spiegelbild deiner linken.
versuch sie durch Drehung in deckung zu bringen.
dann hast du die Antwort.
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> Ich versuche es nocheinmal:
> Es geht um orthogonale Gruppen in [mm]R^{3}:[/mm]
> [mm]O(3):=\{A \in GL_3(R): AA^{t}=I_3 \}[/mm]
Hallo,
aha.
> Die darstellende
> Matrix der orthogonalen Abbildung f
Was ist das besondere an orthogonalen Abbildungen? Wie ist das definiert?
> hat die Gestalt:
> A(f) = [mm]\pmat{\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \* & \* \\ 0 & \* & \*}[/mm]
Wirklich? Oder anders gefragt: stimmt das für jede Basis?
Warum gibt es dieses [mm] \lambda?
[/mm]
Wie sehen die darstellenden Matrizen orthogonaler Abbildungen allgemein aus?
>
> Fragen:
> ich fasse die [mm]\*[/mm] zur Matrix B zusammen.
> 1. Warum muss gelten B [mm]\in[/mm] O(2)?
In den letzten beiden Spalten von A stehen ja die Bilder der Basisvektoren [mm] v_2, v_3 [/mm] der verwendeten Basis [mm] (v_1, v_2,v_3).
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] [/mm] ein invarianter Unterraum.
Was ergibt denn [mm] f(v_2)*f(v_3)?
[/mm]
Und [mm] f(v_2)*f(v_2), [/mm] sowie [mm] f(v_3)*f(v_3)?
[/mm]
> 2. Was kann ich allgemein über die Abbildung A sagen?
Was meinst Du jetzt damit? Willst Du wissen, welche Abbildungen durch orthogonale Matrizen dargestellt werden?
> Kann
> ich z.B. auch wieder
Wieso "wieder"?
> argumentieren: wenn detA=+1 ist (also
> [mm]\lambda=[/mm] +1 und detB = +1
Ja, dann ist's eine Drehung. (Drehachse? Drehebene?)
> oder [mm]\lambda[/mm] = -1 und detB= -1)
> ist A eine Drehung
Drehachse? Drehebene? Drehwinkel?
> und wenn detA=-1 (also [mm]\lambda[/mm] = +1,
> detB = -1
Eine Spiegelung an welcher Ebene?
> oder [mm]\lambda[/mm] = -1, detB=+1) ist A eine Spiegelung
> an einer Ebene?
Hier bin ich skeptisch. Sehr skeptisch: was ist denn die Spiegelebene?
Bist Du Dir ganz sicher, daß B den zweifachen Eigenwert 1 hat?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Fr 10.07.2009 | | Autor: | moerni |
Danke erstmal für die Antwort.
> Was ist das besondere an orthogonalen Abbildungen? Wie ist das definiert?
Sei A die darstellende Matrix einer orthogonalen Abbildung (betrachte den Körper R). Dann gilt: [mm] AA^{t}=I_n
[/mm]
Die darstellende Matrix A ist ähnlich (?) zu einer Matrix der Gestalt
M(f)= [mm] \pmat{\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \* & \* \\ 0 & \* & \*}
[/mm]
also bei Wahl einer geeigneter Basis. Wenn man eine andere Basis hat, muss man dann eine Basistransformation durchführen?
Das [mm] \lambda [/mm] gibt es ja deswegen, weil das charakteristische Polynom den Grad 3 hat und deshalb in R mind. eine Nullstelle hat. Weil die detA=-1 oder +1 ist, muss [mm] \lambda [/mm] entweder +1 oder -1 sein.
> Wie sehen die darstellenden Matrizen orthogonaler Abbildungen allgemein aus?
Das weiß ich nicht... sie haben ja die Eigenschaft [mm] AA^{t}=I_n, [/mm] also muss detA=+1 oder -1 sein, und die Spaltenvektoren in A bilden eine orthogonale Basis von f.
> Fragen:
> ich fasse die zur Matrix B zusammen.
> 1. Warum muss gelten B O(2)?
> In den letzten beiden Spalten von A stehen ja die Bilder der Basisvektoren [mm] v_2,v_3 [/mm] der verwendeten Basis [mm] (v_1,v_2,v_3). [/mm] Offensichtlich ist [mm] [/mm] ein invarianter Unterraum.
Weshalb wird jetzt mit dem Skalarprodukt argumentiert? das verstehe ich nicht...
> Was ergibt denn [mm] f(v_2)*f(v_3) [/mm] und [mm] f(v_2)*f(v_2) [/mm] und [mm] f(v_3)*f(v_3)? [/mm]
Wenn die Matrix eine orthogonale Matrix ist, dann müssten die Spaltenvektoren ja paarweise zueinander orthogonal sein, oder? also wäre [mm] f(v_i)*f(v_j)= [/mm] 0 für [mm] i\not=j [/mm] und wenn es eine ON-Basis ist =1 für i=j
> 2. Was kann ich allgemein über die Abbildung A sagen?
> > Was meinst Du jetzt damit? Willst Du wissen, welche Abbildungen durch orthogonale Matrizen dargestellt werden?
genau.
> Kann
> ich z.B. auch wieder
> >Wieso "wieder"?
> argumentieren: wenn detA=+1 ist (also [mm] \lambda=+1 [/mm] und detB = +1
"Wieder" deshalb, weil das bei O(2) so geht. da gibts ja nur die Möglichkeiten detA= 1 oder detA= -1 und je nachdem, wie die Determinante ist, ists ne Drehung oder Spiegelung.
> >Ja, dann ist's eine Drehung. (Drehachse? Drehebene?)
Drehachse: Rv=Eig(f; 1), Drehebene: [mm] W=(Rv)^{\perp}, [/mm] Drehwinkel: [mm] 1+2cos\nu=tr(f)
[/mm]
> oder [mm] \lambda= [/mm] -1 und detB= -1)
> ist A eine Drehung
> >Drehachse? Drehebene? Drehwinkel?
ebenso?
> und wenn detA=-1 (also [mm] \lambda= [/mm] +1,
> detB = -1
> >Eine Spiegelung an welcher Ebene?
??vielleicht an der Ebene, die durch [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] aufgespannt wird?
> oder [mm] \lambda= [/mm] -1, detB=+1) ist A eine Spiegelung
> an einer Ebene?
> >Hier bin ich skeptisch. Sehr skeptisch: was ist denn die Spiegelebene Bist Du Dir ganz sicher, daß B den zweifachen Eigenwert 1 hat?
Nein, das weiß ich nicht. Das war ja meine Frage... aber das könnte doch sein, dass der Eigenwert 1 zweifach da ist, oder?
Grüße von moerni
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> Danke erstmal für die Antwort.
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> > Was ist das besondere an orthogonalen Abbildungen? Wie ist
> das definiert?
> Sei A die darstellende Matrix
Hallo,
ich hatte aber nicht nach der darstellenden Matrix gefragt, sondern danach, wie "orthogonale Abbildung" definiert ist.
Oder habt Ihr das über die Darstellungsmatrizen definiert?
> Sei A die darstellende Matrix einer orthogonalen Abbildung
> (betrachte den Körper R). Dann gilt: [mm]AA^{t}=I_n[/mm]
Das stimmt nicht.
Du mußt genauer sagen, was Du mit "die" darstellende Matrix meinst. Zur darstellenden Matrix gehort ja die Angebe der Basis, bzgl. welcher sie sein soll.
>
> Die darstellende Matrix A ist ähnlich (?) zu einer Matrix
> der Gestalt
> M(f)= [mm]\pmat{\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \* & \* \\ 0 & \* & \*}[/mm]
>
> also bei Wahl einer geeigneter Basis.
Und was ist das für eine?
(Kleine Warnung: falls Du gerade einen Proseminarvortrag o.ä. vorbereitest, solltest Du auf solche Fragen eine Antwort parat haben. Wenn man sich das daheim schon überlegt hat, schwitzt man im Ernstfall weniger...)
> Wenn man eine andere
> Basis hat, muss man dann eine Basistransformation
> durchführen?
Ja.
>
> Das [mm]\lambda[/mm] gibt es ja deswegen, weil das charakteristische
> Polynom den Grad 3 hat und deshalb in R mind. eine
> Nullstelle hat.
Ja, genau.
Der erst Basisvektor ist also ein Eigenvektor.
> Weil die detA=-1 oder +1 ist, muss [mm]\lambda[/mm]
> entweder +1 oder -1 sein.
> > Wie sehen die darstellenden Matrizen orthogonaler
> Abbildungen allgemein aus?
> Das weiß ich nicht... sie haben ja die Eigenschaft
> [mm]AA^{t}=I_n,[/mm] also muss detA=+1 oder -1 sein, und die
> Spaltenvektoren in A bilden eine orthogonale Basis von f.
So sehen orthogonale Matrizen aus.
Du hast ja recht damit, daß die orthogonalen Matrizen ziemlich viel mit orthogonalen Abbildungen zu tun haben, aber Du mußt das genauer wissen.
(Stichwort: Basis)
>
>
> > Fragen:
> > ich fasse die zur Matrix B zusammen.
> > 1. Warum muss gelten B O(2)?
> > In den letzten beiden Spalten von A stehen ja die Bilder
> der Basisvektoren [mm]v_2,v_3[/mm] der verwendeten Basis
> [mm](v_1,v_2,v_3).[/mm] Offensichtlich ist [mm][/mm] ein invarianter
> Unterraum.
>
> Weshalb wird jetzt mit dem Skalarprodukt argumentiert? das
> verstehe ich nicht...
Schau Dir mal an, wie Ihr orthogonale Abbildung definiert habt.
Ansonsten kannst Du das natürlch auch aus A^tA=E erschließen.
> > Was ergibt denn [mm]f(v_2)*f(v_3)[/mm] und [mm]f(v_2)*f(v_2)[/mm] und
> [mm]f(v_3)*f(v_3)?[/mm]
>
> Wenn die Matrix eine orthogonale Matrix ist, dann müssten
> die Spaltenvektoren ja paarweise zueinander orthogonal
> sein, oder? also wäre [mm]f(v_i)*f(v_j)=[/mm] 0 für [mm]i\not=j[/mm] und
> wenn es eine ON-Basis ist =1 für i=j
Ja.
Und? Ist das so? Wenn ja: weshalb?
>
>
> > 2. Was kann ich allgemein über die Abbildung A sagen?
> > > Was meinst Du jetzt damit? Willst Du wissen, welche
> Abbildungen durch orthogonale Matrizen dargestellt werden?
>
> genau.
>
> > Kann
> > ich z.B. auch wieder
>
> > >Wieso "wieder"?
>
> > argumentieren: wenn detA=+1 ist (also [mm]\lambda=+1[/mm] und detB
> = +1
>
> "Wieder" deshalb, weil das bei O(2) so geht. da gibts ja
> nur die Möglichkeiten detA= 1 oder detA= -1 und je
> nachdem, wie die Determinante ist, ists ne Drehung oder
> Spiegelung.
Achso.
>
> > >Ja, dann ist's eine Drehung. (Drehachse? Drehebene?)
>
> Drehachse: Rv=Eig(f; 1), Drehebene: [mm]W=(Rv)^{\perp},[/mm]
> Drehwinkel: [mm]1+2cos\nu=tr(f)[/mm]
>
> > oder [mm]\lambda=[/mm] -1 und detB= -1)
> > ist A eine Drehung
>
> > >Drehachse? Drehebene? Drehwinkel?
>
> ebenso?
Jein. Diese Drehung ist ja etwas spezieller,
denn es gibt eine Basis, bzgl derer [mm] A=\pmat{\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \* & \* \\ 0 & \* & \*} [/mm] so aussieht:
[mm] \pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0\\ 0 &0& 1}
[/mm]
>
> > und wenn detA=-1 (also [mm]\lambda=[/mm] +1,
> > detB = -1
>
> > >Eine Spiegelung an welcher Ebene?
>
> ??vielleicht an der Ebene, die durch [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm]
> aufgespannt wird?
Bedenke, daß die Spiegelebene die Eigenvektoren zum EW 1 enthält.
>
> > oder [mm]\lambda=[/mm] -1, detB=+1) ist A eine Spiegelung
> > an einer Ebene?
>
> > >Hier bin ich skeptisch. Sehr skeptisch: was ist denn die
> Spiegelebene Bist Du Dir ganz sicher, daß B den zweifachen
> Eigenwert 1 hat?
>
> Nein, das weiß ich nicht. Das war ja meine Frage... aber
> das könnte doch sein, dass der Eigenwert 1 zweifach da
> ist, oder?
Du hattest mir doch eben erzählt, daß die orthogonalen 2x2-Matrizen Drehungen (det=1) oder Spiegelungen (det=-1) beschreiben.
Du hast det B=1, also Drehung. Wie ist denn das mit den Drehungen im [mm] \IR^2? [/mm] Gibt's da Eigenvektoren? (Nein, gibt's nicht)..
Deine Matrix beschreibt eine Drehspiegelung.
Gruß v. Angela
>
> Grüße von moerni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Fr 10.07.2009 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank für deine Bemühungen!
also. wir haben orthogonale Abbildungen definiert:
[mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: <v,w>=<f(v),f(w)>
> Sei A die darstellende Matrix einer orthogonalen Abbildung (betrachte den Körper R). Dann gilt: [mm] AA^{t}=I_n
[/mm]
> Das stimmt nicht.
> Du hast ja recht damit, daß die orthogonalen Matrizen ziemlich viel mit orthogonalen Abbildungen zu tun haben, aber Du mußt das genauer wissen. (Stichwort: Basis)
Ist dann das also so, dass die darstellende Matrix einer orthogonalen Abbildung nur dann orthogonal ist, wenn die Matrix bzgl. einer orthogonalen Basis berechnet wurde? Denn wenn die Basisvektoren orthogonal zueinander stehen, dann sind auch die Bilder der Basisvektoren orthogonal zueinander (nach Definition einer orthogonalen Abbildung über das Skalarprodukt siehe oben).
Wenn das richtig ist, habe ich verstanden, warum meine ursprüngliche Matrix B [mm] \in [/mm] O(2) sein muss.
Wenn [mm] \lambda=-1 [/mm] und detB=-1, dann gibt es eine Basis bzgl. derer die darstellende Matrix eine Form hat:
[mm] \pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
> Diese Drehung ist ja etwas spezieller
Wenn ich mir das im [mm] R^{3} [/mm] vorstelle, ist das eine Drehung um 180° um [mm] x_3 [/mm] Achse...
> Du hast det B=1, also Drehung. Wie ist denn das mit den Drehungen im Gibt's da Eigenvektoren? (Nein, gibt's nicht).. Deine Matrix beschreibt eine Drehspiegelung.
achso! Dann ist das also eine Verkettung von orthogonalen Abbildungen! Das macht Sinn.
Grüße moerni
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> Vielen Dank für deine Bemühungen!
> also. wir haben orthogonale Abbildungen definiert:
> [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V: <v,w>=<f(v),f(w)>
Hallo,
genau. Da haben wir das Skalarprodukt.
>
> > Sei A die darstellende Matrix einer orthogonalen
> Abbildung (betrachte den Körper R). Dann gilt:
> [mm]AA^{t}=I_n[/mm]
>
> > Das stimmt nicht.
>
> > Du hast ja recht damit, daß die orthogonalen Matrizen
> ziemlich viel mit orthogonalen Abbildungen zu tun haben,
> aber Du mußt das genauer wissen. (Stichwort: Basis)
>
> Ist dann das also so, dass die darstellende Matrix einer
> orthogonalen Abbildung nur dann orthogonal ist, wenn die
> Matrix bzgl. einer orthogonalen Basis berechnet wurde?
Ja, so ist es, und dieses "kleine" Detail ist nicht ganz unwichtig.
> Denn
> wenn die Basisvektoren orthogonal zueinander stehen, dann
> sind auch die Bilder der Basisvektoren orthogonal
> zueinander (nach Definition einer orthogonalen Abbildung
> über das Skalarprodukt siehe oben).
Ja.
>
> Wenn das richtig ist, habe ich verstanden, warum meine
> ursprüngliche Matrix B [mm]\in[/mm] O(2) sein muss.
Gut.
>
> Wenn [mm]\lambda=-1[/mm] und detB=-1, dann gibt es eine Basis bzgl.
> derer die darstellende Matrix eine Form hat:
> [mm]\pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> > Diese
> Drehung ist ja etwas spezieller
> Wenn ich mir das im [mm]R^{3}[/mm] vorstelle, ist das eine Drehung
> um 180° um [mm]x_3[/mm] Achse...
Um den Eigenvektor zum EW 1.
Gruß v. Angela
>
> > Du hast det B=1, also Drehung. Wie ist denn das mit den
> Drehungen im Gibt's da Eigenvektoren? (Nein, gibt's
> nicht).. Deine Matrix beschreibt eine Drehspiegelung.
>
> achso! Dann ist das also eine Verkettung von orthogonalen
> Abbildungen! Das macht Sinn.
>
> Grüße moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:11 Sa 11.07.2009 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen!
Grüße, moerni
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