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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 07.01.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Auf dem [mm] R^3 [/mm] sei die Bilinearform
[mm] =x_1 y_1+3x_2 y_2+4x_3 y_3+x_1 y_2+x_2 y_1+x_1 y_3 [/mm] + [mm] x_3 y_1+x_2 y_3+x_3 y_2
[/mm]
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass diese Bilinearform ein Skalarprodukt auf dem [mm] R^3 [/mm] definiert.
b) Konstruieren Sie eine bzgl. des Skalarprodukts von a) orthogonale Basis für den Unterrraum
U= [mm] IR\vektor{1 \\ 1\\ 1}+IR\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] |
a) Hier hab ich mit [mm] =x^{t}Ay [/mm] mit [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 4 }
[/mm]
gezeigt, dass A symmetrisch und positiv definit ist. Damit folgt die Beh. a)???
b) Was heißt hier "bezüglich des Skalarprodukts aus a)"?
Ich hab hier [mm] v_1= \vektor{1 \\ -1 \\ 0}, v_2=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] gewählt.
In der Lösung wird dann Gram-Schmidt angewendet. Brauch ich das hier überhaupt? [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] stehen doch eh schon senkrecht aufeinander, denn [mm] =0?
[/mm]
Ich hätte dann [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] einfach nur noch normiert?
In der Lösung gehts so weiter:
[mm] u_1=\bruch{1}{||v_1||}v_1=\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Dann [mm] w_2=v_2-u_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}-\bruch{-2}{\wurzel{2}}\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ -1 \\ 0 }=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] u_2=...=\bruch{1}{2\wurzel{3}}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
=> [mm] u_1,u_2 [/mm] bilden eine ONB von U bzgl. des Skalarprodukts auf [mm] IR^3.
[/mm]
Ich versteh hier nicht, wieso Gram-Schmidt angewendet werden muss, denn [mm] v_1 \perp v_2. [/mm] Ich hätte die beiden Vektoren nur normiert.
Falls ich hier falsch liege, versteh ich nicht, wie in der Lösung bei [mm] =-2 [/mm] rauskommt. Bei mir wäre [mm] <\vektor{1 \\ 1 \\ 1},\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0}=\bruch{1}{\wurzel{2}}(1*1+1*-1+1*0)=0 [/mm] und nicht wie in der Lösung -2.
Bitte um Hilfe, sonst kapier ich gar nix mehr.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du verwendest das "normale" Skalarprodukt, nicht das neu definierte. nur mit dem üblichen SkP stehen deine 2 vektoren senkrecht! usw.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Do 07.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Aso. Ich muss dann also [mm] v_2,u_1 [/mm] in das geg. Skalarprodukt einsetzen?
Alles klar!Da kann ich lang rechnen...
Vielen Dank!
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