Orthogonale Matrix: det(A)? < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Mo 18.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
Hallo,
ich steh gerade vor folgendem Problem:
Auf Wikipedia bei (![[]](/images/popup.gif) Orthogonalen Matrizen:
Aufgrund der oben genannten Längen- und Winkeltreue stellen orthogonale Matrizen Kongruenzabbildungen dar. Damit ist der Betrag der Determinante einer orthogonalen Matrix Eins
Wähle jedoch:
[mm] $$A:=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }$$
[/mm]
$$det(A)=1*1-1*0=1$$
Jedoch ist:
[mm] $$A*A^T=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }\not= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=I$$
[/mm]
Also nicht orthogonal. Wo liegt mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mo 18.02.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo jackyooo,
> Hallo,
>
> ich steh gerade vor folgendem Problem:
>
> Auf Wikipedia bei
> (Orthogonalen Matrizen:
>
> Aufgrund der oben genannten Längen- und Winkeltreue
> stellen orthogonale Matrizen Kongruenzabbildungen dar.
> Damit ist der Betrag der Determinante einer orthogonalen
> Matrix Eins
>
> Wähle jedoch:
>
> [mm]A:=\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }[/mm]
> [mm]det(A)=1*1-1*0=1[/mm]
> Jedoch ist:
> [mm]A*A^T=\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }\pmat{ 1 & 0 \\
1 & 1 }=\pmat{ 2 & 1 \\
1 & 1 }\not= \pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }=I[/mm]
>
> Also nicht orthogonal. Wo liegt mein Denkfehler?
mhhh, da verstehe ich dein Anliegen nicht. Oben genannte Matrix [mm]A[/mm] ist bei Wikipedia gerade als Beispiel angegeben, dass eine Matrix, deren Determinante [mm]\pm{1}[/mm] ist (diese Eigenschaft erfüllt die Matrix [mm]A[/mm]), nicht zwangsläufig eine orthogonale Matrix ist. Die Spaltenvektoren bilden offensichtlich keine Orthogonalbasis des [mm]\IR^2[/mm] und damit ist die Matrix $A$ keine orthogonale Matrix.
Gruß,
barsch
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Der Satz lässt sich nicht umdrehen:
Wenn orthonormal, dann det=1 ist richtig,
wenn det=1, dann orthonormal ist mal richtig, mal nicht.
Deine Argumentation ist ungefähr folgende:
Wenn eine Zahl durch 12 teilbar ist, dann auch durch 3.
9 ist durch 3 teilbar, wieso denn jetzt nicht durch 12?
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