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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:45 Di 30.04.2013 | | Autor: | hippias |
| Aufgabe | | Es sei $V$ ein endlichdimensionaler VR ueber einen Koerper $K$ und [mm] $\beta$ [/mm] eine nicht ausgeartete $K$-Bilinearform auf $V$. Ferner sei [mm] $\phi$ [/mm] eine Isometrie von [mm] $(V,\beta)$ [/mm] und $f$ das Minimalpolynom von [mm] $\phi$ [/mm] ueber $K$. Es seien $g, h$ teilerfremde, normierte Polynome ueber $K$ mit $f= gh$. Setze $U:= [mm] \Kern g(\phi)$ [/mm] und $W:= [mm] \Kern h(\phi)$. [/mm] Ist $U$ nicht ausgeartet, so ist $V= [mm] U\perp [/mm] W$. Damit ist insbesondere auch $W$ nicht ausgeartet. |
Stimmt der Beweis fuer die obige Behauptung. Mir kommt das irgendwie ueberraschend vor.
Beweis: Wir wissen, dass $V= [mm] U\oplus [/mm] W$. Es ist [mm] $U^{\perp}\leq [/mm] V$ [mm] $\phi$-invariant [/mm] mit $V= [mm] U\oplus U^{\perp}$, [/mm] da $U$ nicht ausgeartet ist. Sei $m:= [mm] mipo(\phi_{\vert_{U^{\perp}}})$, [/mm] sodass [mm] $g(\phi)m(\phi)= 0_{End_{K}(V)}$, [/mm] also $f= [mm] gh\vert [/mm] gm$ und damit [mm] $h\vert [/mm] m$ folgt.
Andererseits ist [mm] $g(\phi)$ [/mm] bijektiv auf [mm] $U^{\perp}$, [/mm] ferner gilt fuer alle [mm] $w\in U^{\perp}$, [/mm] dass aus $0= [mm] w^{f(\phi)}= w^{g(\phi)h(\phi)}$, [/mm] sodass [mm] $h(\phi)_{\vert_{U^{\perp}}}= [/mm] 0$. Somit haben wir ebenso [mm] $m\vert [/mm] h$, also $m= h$.
Somit ist [mm] $\Kern h(\phi)= \Kern m(\phi)\geq U^{\perp}$. [/mm] Aus $V= [mm] U\oplus \Kern h(\phi)= U\oplus U^{\perp}$ [/mm] folgt nun [mm] $\Kern h(\phi)= U^{\perp}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 02.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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