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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | | Gibt es eine orthogonale Abbildung [mm] f:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit f(5,0,1)=(1,-5,0) und f(8,0,-1)=(4,-7,0)?Falls ja, geben Sie eine an.Ist diese Abbildung eindeutig? |
Guten Tag zusammen,
habe da mal eine Frage bezüglich dieser Aufgabe.
Die Definition einer orthogonalen Abbildung ist ja die folgende:
Eine lineare Abbildung f:X [mm] \to [/mm] Y mit ß(f(x),f(y)) = a(x,y)
<f(x),f(y)> = <x,y>
heisst orthogonale Abbildung.
(Klar: Winkel + Längen bleiben erhalten)
Nur irgendwie weiss ich nicht wie ich diese Definition auf meine Aufgabe anwenden soll.Wäre froh wenn mir da mal jemand einen Tipp geben könnte.
Danke
MFG DAVE
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> Gibt es eine orthogonale Abbildung [mm]f:\IR^3 \to \IR^3[/mm] mit
> f(5,0,1)=(1,-5,0) und f(8,0,-1)=(4,-7,0)?Falls ja, geben
> Sie eine an.Ist diese Abbildung eindeutig?
> Guten Tag zusammen,
>
> habe da mal eine Frage bezüglich dieser Aufgabe.
>
> Die Definition einer orthogonalen Abbildung ist ja die
> folgende:
>
> Eine lineare Abbildung f:X [mm]\to[/mm] Y mit ß(f(x),f(y)) = a(x,y)
> <f(x),f(y)> = <x,y>
> heisst orthogonale Abbildung.
>
> (Klar: Winkel + Längen bleiben erhalten)
>
> Nur irgendwie weiss ich nicht wie ich diese Definition auf
> meine Aufgabe anwenden soll.
Hallo,
Deine "Definition" finde ich auch etwas wunderlich, dann Du überläßt es völlig der Fantasie des Betrachters, was derselbige sich unter ß und a vorstellt.
Na, ich ignoriere dies einfach. Der Rest Deiner Def. ist das, was man auch mir als "orthogonale Abbildung" beigebracht hat.
Was ich noch gelernt habe ist, daß eine Abb. genau dann orthogonal ist, wenn ihre Matrix bzgl. einer Orthonormalbasis orthogonal ist.
Ich gehe davon aus, daß Ihr das auch hattet, und damit könnte dann ein grober Plan zum Überprüfen der Orthogonalität stehen:
Berechne f(1,0,0) und f(0,0,1) aus den Informationen, die Du hast und guck, ob Du f(0,1,0) so wählen kannst, daß die darstellende Matrix bzgl der Standardbasis orthonormal ist.
Andere Möglichkeit ohne Matrix: ergänze [mm] B_1:=(5,0,1) [/mm] und [mm] b_2:=(8,0,-1) [/mm] durch einen Vektor [mm] b_3 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3, [/mm] und schau, ob für
[mm] x:=\summe_{i=1}^{3}k_ib_i [/mm] und [mm] y:=\summe_{i=1}^{3}l_ib_i [/mm]
<x,y>= <f(x), f(y)> richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Dave11 |
Zuerst mal vielen dank für deine Hilfe:)
> Berechne f(1,0,0) und f(0,0,1) aus den Informationen, die
> Du hast und guck, ob Du f(0,1,0) so wählen kannst, daß die
> darstellende Matrix bzgl der Standardbasis orthonormal
> ist.
Dann entscheide ich mich mal für die 1 Möglichkeit:)
Dann bekomme ich also :
[mm] \bruch{1}{13}(5,0,1)+\bruch{1}{13}(8,0,-1)=(1,0,0) [/mm] und
[mm] \bruch{8}{13}(5,0,1)-\bruch{5}{13}(8,0,-1)=(0,0,1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{1}{13}(1,-5,0)+\bruch{1}{13}(4,-7,0)=(\bruch{5}{13},\bruch{-12}{13},0)
[/mm]
[mm] \bruch{8}{13}(1,-5,0)+\bruch{-5}{13}(4,-7,0)=(\bruch{-12}{13},\bruch{-5}{13},0)
[/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{5}{13} & -\bruch{12}{13} & .. \\ -\bruch{12}{13} & -\bruch{5}{13} & ..\\ 0 & 0 & .. }
[/mm]
müsste doch so richtig sein???
Und jetzt muss ich also f(0,1,0) so wählen, daß die
darstellende Matrix bzgl der Standardbasis orthonormal ist.
Nur wie mache ich das am besten???
MFG DAVE
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> Zuerst mal vielen dank für deine Hilfe:)
>
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> > Berechne f(1,0,0) und f(0,0,1) aus den Informationen, die
> > Du hast und guck, ob Du f(0,1,0) so wählen kannst, daß die
> > darstellende Matrix bzgl der Standardbasis orthonormal
> > ist.
>
> Dann entscheide ich mich mal für die 1 Möglichkeit:)
>
> Dann bekomme ich also :
>
> [mm]\bruch{1}{13}(5,0,1)+\bruch{1}{13}(8,0,-1)=(1,0,0)[/mm] und
> [mm]\bruch{8}{13}(5,0,1)-\bruch{5}{13}(8,0,-1)=(0,0,1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{13}(1,-5,0)+\bruch{1}{13}(4,-7,0)=(\bruch{5}{13},\bruch{-12}{13},0)[/mm]
>
> [mm]\bruch{8}{13}(1,-5,0)+\bruch{-5}{13}(4,-7,0)=(\bruch{-12}{13},\bruch{-5}{13},0)[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ \bruch{5}{13} & -\bruch{12}{13} & .. \\ -\bruch{12}{13} & -\bruch{5}{13} & ..\\ 0 & 0 & .. }[/mm]
>
> müsste doch so richtig sein???
Hallo,
das Ergebnis sieht sehr überzeugend aus, denn es gibt Anlaß zu dr Hoffnung, daß man tatsächlich solch einen passenden dritten Vektor findet:
- Es haben die Spalten nämlich jeweils den Betrag 1. (Andernfalls könnten/dürften wir einpacken, denn orthogonale Matrizen haben ja normierte Spalten.)
- Die beiden Spalten sind orthogonal.
> Und jetzt muss ich also f(0,1,0) so wählen, daß die
> darstellende Matrix bzgl der Standardbasis orthonormal
> ist.
>
> Nur wie mache ich das am besten???
Naja, ein Vektor, den man wählen kann, springt einem doch sofort ohne zu rechnen ins Auge, oder?
Damit weiß man dann: ja, es existiert so eine Abbildung - man hält sie ja in den Händen.
Dann muß man noch über die Eindeutigkeit nachdenken.
(Nach ganz kurzem Nachdenken sieht man, daß das nicht eindeutig ist.)
Oder man rechnet aus, welche Vektoren für f(0,1,0) infrage kommen, daraus ergibt sich dann auch die Antwort auf die Frage nach der Eindeutigkeit.
Sei f(0,1,0):=(x,y,z).
Damit die Matrix orthogonal ist, muß (x,y,z) drei Eigenschaften haben:
a. orthogonal zur ersten Soalte
b. orthogonal zur zweiten Spalte
c. normiert
Das entsprechende GS kannst Du lösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 So 06.01.2008 | | Autor: | Dave11 |
> Sei f(0,1,0):=(x,y,z).
>
> Damit die Matrix orthogonal ist, muß (x,y,z) drei
> Eigenschaften haben:
>
> a. orthogonal zur ersten Soalte
> b. orthogonal zur zweiten Spalte
> c. normiert
>
> Das entsprechende GS kannst Du lösen.
>
Also der Vektor der einem direkt ins Auge springt wäre ja (0,0,1).
Wenn ich das GS löse sieht es doch folgendermaßen aus....
[mm] \pmat{ \bruch{5}{13} & -\bruch{12}{13}\\ -\bruch{12}{13} & -\bruch{5}{13} }=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ 5 & -12 \\ 0 & -1 }=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0
Einsetzten in [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] ergibt: z=1
Also den Vektor den mann direkt erkennen kann.Nur mit der Eindeutigkiet verstehe ich das immer noch nicht ganz.Meiner Meinung nach wäre die Abbildung eindeutig.Kannst du mir da nochmal helfen.
Danke
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Hallo,
mit -1 funktioniert das auch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 06.01.2008 | | Autor: | Dave11 |
Borrr klar bin ich doof :)
Danke dir angela für deine Hilfe
Gruss Dave
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