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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 So 03.03.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | [mm] O_n [/mm] := [mm] \{ A \in M_{n \times n } (\IR) : A^t A = I_n\}
[/mm]
Wieso ist jedes A [mm] \in O_n [/mm] invertierbar mit [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] A^t [/mm] ?
[mm] A^t [/mm] ist doch nur ein linksinverses, Wieso ist also die invertierbarkeit der elemente klar? |
Hallo ;)
Frage tauchte bei einer Übung meinerseits auf.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 So 03.03.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, es gilt sogar [mm] AA^t=I_n, [/mm] denn
[mm] AA^t=I_nAA^t=(A^t)^t\underbrace{A^tA}_{=I_n}A^t=(A^t)^tA^t=B^tB=I_n (B=A^t).
[/mm]
Das Phänomen gilt sogar für alle Gruppen. Hast du eine Menge mit assoziativer und abgeschlossener Verknüpfung, und ein linksneutrales Element $e$ (hier: [mm] I_n) [/mm] und für jedes Element a ein linksinverses Element a', so ist a' sogar rechtsinvers zu a und e ist rechtsneutral, d.h. du hast eine Gruppe vorliegen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Mo 04.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]O_n[/mm] := [mm]\{ A \in M_{n \times n } (\IR) : A^t A = I_n\}[/mm]
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> Wieso ist jedes A [mm]\in O_n[/mm] invertierbar mit [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]A^t[/mm] ?
> [mm]A^t[/mm] ist doch nur ein linksinverses, Wieso ist also die
> invertierbarkeit der elemente klar?
> Hallo ;)
>
> Frage tauchte bei einer Übung meinerseits auf.
>
> LG
Weitere Möglichkeit:
Aus [mm] A^t [/mm] A = [mm] I_n [/mm] folgt: 1= [mm] det(A^tA)=det(A^t)*det(A)=det(A)^2, [/mm] also det(A) [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
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