Orthogonalproj. Ein Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:36 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi!
Sollte mein folgender Beweis stimmen, wie kann ich das Ergebnis
noch als solches formulieren?
Es sei [mm] proj_{B} [/mm] A bezeichnet mit P(A,B).
Behauptung: P(A,B)=P(B,A) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \IR
[/mm]
Es gilt: P(A,B) = [mm] \bruch{}{}*B
[/mm]
P(A,B) = [mm] ab*\bruch{b}{||b||^{2}}
[/mm]
P(B,A) = [mm] ab*\bruch{a}{||a||^{2}}
[/mm]
Das einzige was ich jetzt sagen kann ist,
das [mm] P(A,B)\not=P(B,A), [/mm] da die Richtungen
der Projektionen versch. sind.
Geht's etwas formaler oder besser?
Danke!
Kohei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Sa 12.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Kohei,
ehrlich gesagt verstehe ich nicht genau, was du zeigen willst.
Ich meine : da steht zwar eine "Behauptung" , aber zum einen sind A und B sicher nicht aus $ [mm] \IR [/mm] $ und zum anderen sehe ich darunter irgendwie nicht, wie du es bewiesen hast...
Oder wolltest du zeigen, dass die Behauptung falsch ist ?!?
Dann reicht nicht nur eine Gegenbeispiel aus - ea ist auch viel besser als irgendein Versuch "zu beweisen" dass eine Aussage falsch ist.
Könntest du also bitte nochmal kurz erläutern, was du versuchst ?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Also ich möchte für A,B [mm] \in\IR [/mm] zeigen, dass die Projektion eines
Vektors a nach b niemals gleich der Projektion des Vektors b
nach a sein kann.
Die Projektion [mm] proj_{B} [/mm] A des Vektors a nach b sei bezeichnet
mit P(A,B). Gilt P(A,B)=P(B,A)?
Ich behaupte das gilt nie. Die Richtungen der Projektionen
sind verschieden. Das kann man ganz gut erkennen wenn man
es zeichnet. Allerdings kann ich es nicht schön formal aufschreiben.
lg Kohei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Sa 12.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Also ich möchte für A,B [mm]\in\IR[/mm] zeigen, dass die Projektion
> eines
> Vektors a nach b niemals gleich der Projektion des Vektors
> b
> nach a sein kann.
also unterscheidest du jetzt groß A und klein a ?
sind es nun Vektoren aus [mm] $\IR^n$ [/mm] (n=2 oder 3) oder reelle Zahlen (, die man ja auch als Vektoren auffassen könnte)
>
> Die Projektion [mm]proj_{B}[/mm] A des Vektors a nach b sei
> bezeichnet
> mit P(A,B). Gilt P(A,B)=P(B,A)?
Wenn du mit A und B tatsächlich nur reelle Zahlen meinst, gilt dann nicht P(A,B) = A und P(B,A)=B und deshalb nur bei A=B die Gleichheit?
(Das hängt dann aber ganz stark von eurer Definition der Projektion ab.)
Wenn du aber von Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] ausgehst und du dich fragst, ob immer P(A,B)=P(B,A) gilt, dann reicht ein Gegenbeispiel aus um diese Aussage zu widerlegen !
(Dies ist auch tatsächlich die beste Wahl !)
> Ich behaupte das gilt nie.
Dies ist jedoch eine ganz andere Behauptung - nicht etwa die Negation der obigen Aussage !!
(Wähle A und B zum Beispiel senkrecht zueinander)
Also, zusammenfassend : um zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist, reicht ein Gegenbeispiel aus - um zu zeigen, dass sie richtig ist, musst du dies allgemein (ohne Beispiel) beweisen.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Sorry! Mein Fehler. A,B sollen Vektoren des [mm] \IR^{n} [/mm] sein.
An zueinander senkrechte Vektoren hab ich gar nicht
gedacht. Cool!!. Ist denn mein Ansatz im ersten Posteing
ein Gegenbsp. zu bringen und somit zu zeigen dass nicht
immer P(A,B)=P(B,A) gilt ok so?
Grüße
Kohei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 12.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Ist denn mein Ansatz im ersten Posteing
> ein Gegenbsp. zu bringen und somit zu zeigen dass nicht
> immer P(A,B)=P(B,A) gilt ok so?
Der Gedanke im ersten Posting ist sicherlich richtig, aber ein GegenBEISPIEL bedeutet, dass man sich zwei (möglichst einfache) Vektoren A und B aussucht (also wirklich Zahlen einsetzt*) und einmal P(A,B) und einmal P(B,A) mit deinen Formeln ausrechnet und sieht, dass nicht das selbe rauskommt, dann ist man schon fertig - ja.
*: man mag jetzt auf die Idee kommen bei Variablen n kein einfaches Beispiel zu finden, aber wenn du bei kanonischer Basis als Vektoren v=(a,b,0...,0) und w=(x,y,0,...,0) aussucht, dann hat man wieder den zweidimensionalen Fall und man muss nur a,b,x,y geeignet wählen um ein Gegenbeispiel in 2D zu finden
viele Grüße
DaMenge
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