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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Sei U ein Unterraum von [mm] V_m(\IR) [/mm] mit ON-Basis [mm] u_1,...,u_k [/mm] , und b [mm] \in V_m(\IR). [/mm] Dann ist die Orthogonalprojektion von b nach U gleich
[mm] \summe_{i=1}^{k} u_i
[/mm]
(Das Gram-Schmidt-Verfahren kann also zur Berechnung von Orthogonalprojektionen benutzt werden.) |
Hallo,
kann mir bei dieser Aufgabe zufällig jemand einen Tipp geben, wie ich daran gehen soll, denn leider steh ich hierbei total aufm Schlauch :(
Danke schon mal vorweg.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei $P(b) := [mm] \summe_{i=1}^{k} u_i [/mm] $ für b [mm] \in [/mm] V
Zeige:
1. [mm] $P^2=P$
[/mm]
2. $P(V)=U$
3. $Kern(P) = [mm] U^{\perp}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Fawkes |
ok, sorry aber da scheiter ich leider schon an dem ersten Punkt :(
Hab gerechnet:
[mm] P^2(b)=(P(b))^2=(\summe_{i=1}^{k} u_i)^2
[/mm]
[mm] =( u_1+...+ u_k)^2
[/mm]
[mm] =( u_1+...+ u_k)( u_1+...+ u_k)
[/mm]
naja und ab hier weiß ich nicht welche Regel ich anwenden muss, damit die eine der beiden Klammern wegfällt...
bei der 2. weiß ich auch nich so richtig was man da rechnen muss:
Wenn man mal einsetzt steht ja dann da
[mm] P(V)=(\summe_{i=1}^{k} u_i) [/mm] und das macht für mich mal absolut keinen Sinn, da man für b doch keinen VR einsetzen kann oder? Hab ich jedenfalls noch nie gesehen...
und zu der 3. hab ich mal eingesetzt:
[mm] Kern(P(b))=Kern(\summe_{i=1}^{k} u_i)=?=U
[/mm]
Warum das gleich U ist kann ich zwar nicht beweisen, jedoch weiß ich das es bei einer Übungsaufgabe der Fall war und damit auch wohl jetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Fawkes |
Bin auf für andere Anregungen diese Aufgabe zu lösen dankbar, es sei denn das es nur den von fred vorgeschlagenen Weg zur Berechnung gibt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:37 Do 14.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bin auf für andere Anregungen diese Aufgabe zu lösen
> dankbar,
Besten Dank
FRED
> es sei denn das es nur den von fred
> vorgeschlagenen Weg zur Berechnung gibt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:36 Do 14.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok, sorry aber da scheiter ich leider schon an dem ersten
> Punkt :(
> Hab gerechnet:
> [mm]P^2(b)=(P(b))^2=(\summe_{i=1}^{k} u_i)^2[/mm]
Das ist doch kompletter Unsinn, Du quadrierst einen Vektor !!! ???
Du hast offensichtlich keine Ahnung, wann eine lineare Abbildung P eine Projektion heißt !
Mit [mm] P^2 [/mm] ist die Abbildung $P [mm] \circ [/mm] P$ gemeint !!
>
> [mm]=( u_1+...+ u_k)^2[/mm]
> [mm]=( u_1+...+ u_k)( u_1+...+ u_k)[/mm]
>
> naja und ab hier weiß ich nicht welche Regel ich anwenden
> muss, damit die eine der beiden Klammern wegfällt...
>
>
> bei der 2. weiß ich auch nich so richtig was man da
> rechnen muss:
> Wenn man mal einsetzt steht ja dann da
> [mm]P(V)=(\summe_{i=1}^{k} u_i)[/mm] und das macht für mich
> mal absolut keinen Sinn, da man für b doch keinen VR
> einsetzen kann oder? Hab ich jedenfalls noch nie
> gesehen...
Das glaube ich Dir nicht ! Sind z.B. M und N Mengen und $f:M [mm] \to [/mm] N$ eine Abbildung, was ist dann f(M) ???. Jawoll, der Bildbereich von f. Somit:
$P(V) = [mm] \{P(b): b \in V \}$
[/mm]
>
>
> und zu der 3. hab ich mal eingesetzt:
> [mm]Kern(P(b))=Kern(\summe_{i=1}^{k} u_i)=?=U[/mm]
Auch das ist kompletter Unsinn
In Worten: zeige: der Kern von P ist das orthogonale Komplement von U
FRED
> Warum
> das gleich U ist kann ich zwar nicht beweisen, jedoch weiß
> ich das es bei einer Übungsaufgabe der Fall war und damit
> auch wohl jetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 14.01.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hallo nochmal,
leider hab ich wie du sicherlich schon gesehen bzw. gelesen hast nicht allzu viel Ahnung von Projektionen. In der Vorlesung haben wir es auch nur ganz kurz durchgenommen und definiert, das
[mm] =0 \gdw = [/mm] für i=1,...,k , wobei U ein UR von V ist und b [mm] \in [/mm] V. So ist [mm] b_U [/mm] die Orthogonalprojetkion von b nach U und es gilt, dass [mm] b_U \in [/mm] U und [mm] b-b_U [/mm] orthogonal zu allen Vektoren aus U ist.
Vielleicht sollte ich mit diesem Wissen trotzdem deine Lösung nachvollziehen können, jedoch scheiter ich leider bei dem Versuch.
Als Lösung hab ich mir jetzt jedenfalls auch was überlegt und zwar möchte ich gerne dafür die Definition aus der Vorlesung benutzen. Und zwar ist ja zu zeigen, dass: [mm] \summe_{i=1}^{k} u_i [/mm] gilt.
Wenn man für diese Formel jetzt mal die Definition und die Aufgabenstellung benutzt, dann steht da doch:
[mm] b_U=\summe_{i=1}^{k} u_i=\summe_{i=1}^{k} u_i=\summe_{i=1}^{k} u_i [/mm] und das ist ja jetzt die Ausgangsformel, also das was zu zeigen war. Könntest du mir vielleicht sagen ob das soweit gehen würde, oder ob das auch wieder nur totaler Käse ist?
Danke schon mal für deine Mühe.
Gruß Fawkes
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Das funktioniert so nicht. Wenn du mit deiner genannten
Definition arbeiten willst musst du so vorgehen:
[mm] v:=\sum_{j=1}^k{}u_j [/mm]
Zu zeigen:
[mm] =,\quad i=1,...,k. [/mm]
Daraus folgt, dass [mm] v=b_U [/mm]
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