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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Fr 11.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei [mm] (V,\Phi) [/mm] ein euklidischer Vektorraum der Dimension n und [mm] $U\subseteq [/mm] V$ ein Untervektorraum. Es ist [mm] V=U\oplus U^\perp [/mm] und wir können die Abbildung
$ [mm] \pi [/mm] : [mm] V\to [/mm] V, \ [mm] \pi(v)=u [/mm] $ wobei $ v=u+w $ mit [mm] $u\in [/mm] U, [mm] w\in U^\perp$
[/mm]
betrachten (Orthogonalprojektion). Zeigen Sie:
a) [mm] \pi [/mm] ist ein Homomorphismus. |
Hallo! Stoße hierbei auf ein Problem:
Zu zeigen ist ja $ [mm] \pi(\Phi(v_1,v_2))=\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2)) [/mm] $ mit [mm] $v_1=u_1+w_1 [/mm] $ und [mm] $v_2=u_2+w_2$.
[/mm]
Klar: [mm] \pi(v)=u [/mm] also [mm] \Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))=\Phi(u_1,u_2).
[/mm]
Nun ist aber
$ [mm] \pi(\Phi(v_1,v_2))=\pi(\Phi((u_1+w_1),(u_2+w_2)))=\pi(\Phi(u_1,u_2)+\Phi(u_1,w_2)+\Phi(w_1,u_2)+\Phi(w_1,w_2)) [/mm] \ \ [mm] \* [/mm] $
Nun sind [mm] w_i [/mm] und [mm] u_i [/mm] orthogonal zueinander, also [mm] \Phi(u_i,w_j)=0 [/mm] damit folgt:
[mm] $\* [/mm] \ [mm] =\pi(\Phi(u_1,u_2)+\Phi(w_1,w_2)) [/mm] $
Jetzt müsste aber [mm] \Phi(w_1,w_2)=0 [/mm] sein damit die Gleichheit [mm] \Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))=\pi(\Phi(v_1,v_2)) [/mm] gilt. Aber [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sind ja nicht orthogonal zueinander...
Was übersehe ich hier??
Danke und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Fr 11.05.2012 | | Autor: | hippias |
Deine Beobachtung ist richtig; man haette die Aufgabe besser so formuliert: Zeigen Sie, dass [mm] $\pi$ [/mm] eine lineare Abbildung ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein euklidischer Vektorraum der Dimension n
> und [mm]U\subseteq V[/mm] ein Untervektorraum. Es ist [mm]V=U\oplus U^\perp[/mm]
> und wir können die Abbildung
>
> [mm]\pi : V\to V, \ \pi(v)=u[/mm] wobei [mm]v=u+w[/mm] mit [mm]u\in U, w\in U^\perp[/mm]
>
> betrachten (Orthogonalprojektion). Zeigen Sie:
>
> a) [mm]\pi[/mm] ist ein Homomorphismus.
> Hallo! Stoße hierbei auf ein Problem:
>
> Zu zeigen ist ja [mm]\pi(\Phi(v_1,v_2))=\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))[/mm]
> mit [mm]v_1=u_1+w_1[/mm] und [mm]v_2=u_2+w_2[/mm].
Das ist doch Unsinn ! Was soll denn [mm] \pi(\Phi(v_1,v_2)) [/mm] sein ??
[mm] \pi [/mm] ist eine Abbildung, die auf V def. ist. Da kannst Du doch keine Zahlen einsetzen.
Zu zeigen ist: [mm] \pi [/mm] ist linear.
FRED
>
> Klar: [mm]\pi(v)=u[/mm] also [mm]\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))=\Phi(u_1,u_2).[/mm]
>
> Nun ist aber
>
> [mm]\pi(\Phi(v_1,v_2))=\pi(\Phi((u_1+w_1),(u_2+w_2)))=\pi(\Phi(u_1,u_2)+\Phi(u_1,w_2)+\Phi(w_1,u_2)+\Phi(w_1,w_2)) \ \ \*[/mm]
>
> Nun sind [mm]w_i[/mm] und [mm]u_i[/mm] orthogonal zueinander, also
> [mm]\Phi(u_i,w_j)=0[/mm] damit folgt:
>
> [mm]\* \ =\pi(\Phi(u_1,u_2)+\Phi(w_1,w_2))[/mm]
>
> Jetzt müsste aber [mm]\Phi(w_1,w_2)=0[/mm] sein damit die
> Gleichheit [mm]\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))=\pi(\Phi(v_1,v_2))[/mm] gilt.
> Aber [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] sind ja nicht orthogonal zueinander...
> Was übersehe ich hier??
>
> Danke und lieben Gruß,
> chesn
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 12.05.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | c) [mm] \pi [/mm] ist selbstadjungiert |
Hallo,
hier muss man zeigen, dass [mm] \pi [/mm] selbstadjungiert ist, d.h. [mm] \tilde\pi=\pi. [/mm] Nach Definition der adjungierten Abb. ist [mm] \phi(\pi(v_1),v_2)=\phi(v_1,\tilde\pi(v_2))
[/mm]
Ich will also zeigen [mm] \phi(\pi(v_1),v_2)=\phi(v_1,\pi(v_2)): [/mm] Für [mm] v_1=u_1+w_1 [/mm] und [mm] v_2=u_2+w_2 [/mm] gelten
[mm] \phi(\pi(v_1),v_2)=\phi(u_1,u_2+w_2)=\phi(u_1,u_2)+\underbrace{\phi(u_1,w_2)}_{=0}=\phi(u_1,u_2)=\phi(u_1,\pi(v_2)).
[/mm]
Das ist ja schon fast das, was ich will, aber [mm] u_1 [/mm] sollte noch [mm] v_1 [/mm] sein ...
mit freundlichem
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 12.05.2012 | | Autor: | chesn |
Zeig doch einfach nacheinander:
[mm] \Phi(\pi(v_1),v_2)=\Phi(u_1,u_2) [/mm]
und danach entsprechend separat, dass auch
[mm] \Phi(v_1,\pi(v_2))=\Phi(u_1,u_2)
[/mm]
gilt.
Edit: Bzw. ist ja $ [mm] \phi(u_1,u_2)=\phi(u_1+w_1,u_2). [/mm] $ weil [mm] \phi(w_1,u_2) [/mm] ja eh 0 ist.
Gruß
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 12.05.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | b) [mm] \pi^2 = \pi,\; Im\; \pi = U,\; Ker\; \pi = U^\perp [/mm] |
Hi,
ja danke das stimmt und hat geholfen.
zur b):
Sei $ [mm] v\in [/mm] V, [mm] u\in [/mm] U $
[mm] \pi^2(v)=\pi\circ\pi(v)=\pi(\pi(v))=\pi(u)=\pi(u+0)=\pi(v) [/mm] denke das kann man so stehen lassen.
Bei dem Rest weiss ich die Definitionen
[mm] Ker\; \pi [/mm] = [mm] \{v\in V\; |\; \pi(v)=0 \} [/mm]
[mm] Im\; \pi [/mm] = [mm] \{v\in V\; |\;\exists\; r\in V:\pi(r)=v \}
[/mm]
und dass [mm] \pi(v)=\pi(u+w)=0 [/mm] $ [mm] \forall\; [/mm] w $ nur dann, wenn $ u=0 $,
aber nicht so recht wie es nun weiter geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 12.05.2012 | | Autor: | chesn |
Ich glaube nicht, dass man da viel mehr zeigen kann..
[mm] Im(\pi) [/mm] ist ja das worauf [mm] \pi [/mm] abbildet, also U.
Wegen [mm] u\in [/mm] U und w [mm] \in U^\perp [/mm] sowie [mm] \pi(u+w)=u [/mm] ist [mm] Im(\pi)=U [/mm] und
[mm] ker(\pi)=U^\perp [/mm] denn für alle [mm] w\in U^\perp [/mm] gilt [mm] \pi(w)=0.
[/mm]
Damit wäre meiner Meinung nach eigentlich auch schon alles gesagt.
gruß,
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 13.05.2012 | | Autor: | halonol |
Wie kommst du jetzt noch mal darauf, dass:
$ [mm] \phi(w_1,u_2) [/mm] $ = 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mo 14.05.2012 | | Autor: | triad |
> Wie kommst du jetzt noch mal darauf, dass:
> [mm]\phi(w_1,u_2)[/mm] = 0 ist?
Nach Definition ist
$ [mm] \pi [/mm] : [mm] V\to [/mm] V, \ [mm] \pi(v)=u [/mm] $ wobei $ v=u+w $ mit $ [mm] u\in [/mm] U, [mm] w\in U^\perp.$
[/mm]
Wenn also $ [mm] u_1+w_1=v_1 \in [/mm] V $ und $ [mm] u_2+w_2=v_2 \in [/mm] V $ mit [mm] $u_1,u_2\in U$,$w_1,w_2\in U^\perp$
[/mm]
dann ist klar [mm] \phi(w_1,u_2)=0, [/mm] denn das Skalarprodukt von zwei senkrecht aufeinanderstehenden Vektoren ist Null.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 So 13.05.2012 | | Autor: | halonol |
zur a) Man soll ja zeigen, dass [mm] \pi [/mm] linear ist. Also habe ich für [mm] \pi [/mm] v,s [mm] \in [/mm] V eingesetzt. Also:
[mm] \pi(v+s)=\pi(u+w+t+z)=\pi(u+t+w+z)=u+t=\pi(u+w)+\pi(t+z)
[/mm]
mit t [mm] \in [/mm] U und z [mm] \in U^\perp. [/mm] Also [mm] \pi [/mm] bildet ja immer die Elemente aus U ab. Daher [mm] \pi(u+t+w+z)=u+t. [/mm] Da für eine Abbildung dann das zweite Element egal ist, kann man ja [mm] u+t=\pi(u+w)+\pi(t+z) [/mm] setzen. Das müsste doch so stimmen?
Verstehe ehrlich gesagt auch nicht, warum chesn $ [mm] \pi(\Phi(v_1,v_2))=\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2)) [/mm] $ zeigen möchte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 13.05.2012 | | Autor: | triad |
> zur a) Man soll ja zeigen, dass [mm]\pi[/mm] linear ist. Also habe
> ich für [mm]\pi[/mm] v,s [mm]\in[/mm] V eingesetzt. Also:
> [mm]\pi(v+s)=\pi(u+w+t+z)=\pi(u+t+w+z)=u+t=\pi(u+w)+\pi(t+z)[/mm]
> mit t [mm]\in[/mm] U und z [mm]\in U^\perp.[/mm] Also [mm]\pi[/mm] bildet ja immer
> die Elemente aus U ab. Daher [mm]\pi(u+t+w+z)=u+t.[/mm] Da für eine
> Abbildung dann das zweite Element egal ist, kann man ja
> [mm]u+t=\pi(u+w)+\pi(t+z)[/mm] setzen. Das müsste doch so stimmen?
i) [mm] \phi(v_1+v_2)=\phi(v_1)+\phi(v_2) [/mm] sollte stimmen, hier nochmal meine Variante:
Sei $ [mm] u_1+w_1=v_1 \in [/mm] V $ und $ [mm] u_2+w_2=v_2 \in [/mm] V $.
[mm] \phi(v_1+v_2)=\phi(u_1+w_1+u_2+w_2)=\phi(\underbrace{(u_1+u_2)}_{=:u}+\underbrace{(w_1+w_2)}_{=:w})=u=u_1+u_2=\phi(v_1)+\phi(v_2).
[/mm]
bei ii) [mm] \phi(\lambda v)=\lambda\phi(v) [/mm] bin ich unsicher: Sei [mm] $\lambda\in [/mm] K$(?).
[mm] \phi(\lambda*v)=\phi(\lambda*(u+w)), [/mm] aber es ist ja dann nicht
[mm] \phi(\lambda*(u+w))=\phi(\lambda*u [/mm] + [mm] \lambda*w))=\lambda*u=\lambda*\phi(v), [/mm] oder?
> Verstehe ehrlich gesagt auch nicht, warum chesn
> [mm]\pi(\Phi(v_1,v_2))=\Phi(\pi(v_1),\pi(v_2))[/mm] zeigen möchte.
Das war wohl eher ein Fehlgedanke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 13.05.2012 | | Autor: | halonol |
Ich habe jetzt doch hoffenltich nichts elementares übersehen, aber du meinst doch sicher [mm] \Pi [/mm] anstatt [mm] \Phi, [/mm] oder?
Warum glaubst du, dass die Gleichheiten bei ii) nicht stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 So 13.05.2012 | | Autor: | triad |
> Ich habe jetzt doch hoffenltich nichts elementares
> übersehen, aber du meinst doch sicher [mm]\Pi[/mm] anstatt [mm]\Phi,[/mm]
> oder?
>
Ja.
> Warum glaubst du, dass die Gleichheiten bei ii) nicht
> stimmen?
OK, [mm] \lambda\in\IR, [/mm] da es sich ja um einen euklidischen Vektorraum handelt.
Damit müssten i)-ii) dann also stimmen.
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