www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Orthogonalprojektion
Orthogonalprojektion < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Orthogonalprojektion: Unterräume
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 So 28.04.2013
Autor: Inocencia

Aufgabe
Im Vektorraum [mm] \IR^{4x1} [/mm] ist ein Unterraum U durch die lineare Hülle der Vektoren
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 2\\5}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] gegeben. Man bestimme eine Orthogonalbasis von U und eine Orthogonalbasis von [mm] U\perp. [/mm]  Weiters bestimme man die Matrix [mm] \Phi_{ee}(p) [/mm] der Orthogonalprojektion p:V->U (wobei V der VR ist wo wir uns befinden, also [mm] \IR^{4x1} [/mm]

also was ich bisjetzt habe:

ich habe mittels Gram Schmidt eine Orthogonalbasis von U bestimmt, wobei [mm] b1=\vektor{4 \\ 0 \\ 2\\5}, b2=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm]

b1=c1
c2=b2 - [c1*b2/(c1*c1)]c1 = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ -1\\1} [/mm]
(Kontrolle, c1*c2=0, passt)

so und jetzt, muss ich eine Basis von [mm] U\perp [/mm] bestimmen.

wie genau mache ich das? kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Danke im Voraus

        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mo 29.04.2013
Autor: meili

Hallo,

> Im Vektorraum [mm]\IR^{4x1}[/mm] ist ein Unterraum U durch die
> lineare Hülle der Vektoren
>  [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 2\\5}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
> gegeben. Man bestimme eine Orthogonalbasis von U und eine
> Orthogonalbasis von [mm]U\perp.[/mm]  Weiters bestimme man die
> Matrix [mm]\Phi_{ee}(p)[/mm] der Orthogonalprojektion p:V->U (wobei
> V der VR ist wo wir uns befinden, also [mm]\IR^{4x1}[/mm]
>  also was ich bisjetzt habe:
>  
> ich habe mittels Gram Schmidt eine Orthogonalbasis von U
> bestimmt, wobei [mm]b1=\vektor{4 \\ 0 \\ 2\\5}, b2=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>  
> b1=c1
>  c2=b2 - [c1*b2/(c1*c1)]c1 = [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ -1\\1}[/mm]
>  
> (Kontrolle, c1*c2=0, passt)

Dein Ansatz des Gram Schmidt Verfahren stimmt.
Bei der Berechnung hat sich aber ein Fehler eingeschlichen,
denn Skalarprodukt [mm] $c_1 [/mm] * [mm] c_2 \not= [/mm] 0$

>  
> so und jetzt, muss ich eine Basis von [mm]U\perp[/mm] bestimmen.
>  
> wie genau mache ich das? kann mir bitte jemand
> weiterhelfen?

Wenn Du zwei orthogonale Basisvektoren von U hast,
musst du über ein Gleichungssystem zwei zu beiden orthogonale
Vektoren bestimmen, die zueinander orthogonal (und  damit linear unabhänig) sind.

>  
> Danke im Voraus

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Di 30.04.2013
Autor: Inocencia

Hallo meili, zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort.

zweitens ich bin in meinem Posting mit den Notationen etwas durcheinander gekommen, c2 ist natürlich zu b2 (1/2/3/4) orthogonal.

also ich muss die Vektoren jetzt so untereinander schreiben, dann habe ich

1  2  3  4 | 0 (-3*1. Zeile + 2.Zeile)
3 -2 -1  1 |0            

->   1  2  3  4 | 0
     0  -8 -10 -11| 0   ..... -> und dann nach einigen Umformungen habe ich  

1  0  4/8  10/8 | 0
0  1  10/8  4/8 | 0

ich brauche ja diese Einheitsmatrix und die habe ich nun, was mache ich jetzt (bzw. wäre es egal,ob ich die Einheitsmatrix in den 1. 2 Stellen oder letzten 2 Stellen habe?  


Bezug
                        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:29 Mi 01.05.2013
Autor: angela.h.b.


> Hallo meili, zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort.

>

> zweitens ich bin in meinem Posting mit den Notationen etwas
> durcheinander gekommen, c2 ist natürlich zu b2 (1/2/3/4)
> orthogonal.

Hallo,

es geht jetzt darum, das Gleichungssystem
[mm] c_2*x=0 [/mm]
[mm] b_2*x=0 [/mm]
zu lösen?

>

> also ich muss die Vektoren jetzt so untereinander
> schreiben, dann habe ich

>

> 1 2 3 4 | 0 (-3*1. Zeile + 2.Zeile)
> 3 -2 -1 1 |0

>

> -> 1 2 3 4 | 0
> 0 -8 -10 -11| 0 ..... -> und dann nach einigen
> Umformungen habe ich

>

> 1 0 4/8 10/8 | 0
> 0 1 10/8 4/8 | 0

>

> ich brauche ja diese Einheitsmatrix

Welche?
Hm, vielleicht ahne ich, wovon Du sprichst: von dem "-1-Trick" mit dem Subtrahieren der Einheitsmatrix?

Du hast jetzt die reduzierte ZSF vorliegen.
Vergrößere die Matrix durch Zufügen von Nullzeilen auf eine quadratische:

[mm] \vmat{1& 0 &4/8 &10/8\\0 &1 &10/8 &4/8 \\0&0&0&0\\0&0&0&0} [/mm]

Subtrahiere die Einheitsmatrix

[mm] \vmat{0& 0 &4/8 &10/8\\0 &0 &10/8 &4/8 \\0&0&-1&0\\0&0&0&-1}. [/mm]

In den Nichtnullspalten hast Du eine Basis des Lösungsraumes stehen.

Das ist eine Basis von [mm] U^{\perp}. [/mm]

Orthogonalisierung liefert Dir anschließend die gewünschte Orthogonalbasis von [mm] U^{\perp}. [/mm]

LG Angela









> und die habe ich nun,
> was mache ich jetzt (bzw. wäre es egal,ob ich die
> Einheitsmatrix in den 1. 2 Stellen oder letzten 2 Stellen
> habe?

>

Bezug
                                
Bezug
Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mi 01.05.2013
Autor: Inocencia

Vielen Dank Angela, das war sehr gut erklärt.

um die Orthogonalbasis von [mm] U\perp [/mm] zu bekommen, gehe ich genauso vor wie bei der Orthogonalbasis von U (also Gram schmidt)?

und noch eine Frage, wie bestimme ich jetzt die Matrix der Orthogonalprojektion? Ich weiß, dass ich kanonische Basisvektoren brauche..

Bezug
                                        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:48 Do 02.05.2013
Autor: fred97


> Vielen Dank Angela, das war sehr gut erklärt.
>  
> um die Orthogonalbasis von [mm]U\perp[/mm] zu bekommen, gehe ich
> genauso vor wie bei der Orthogonalbasis von U (also Gram
> schmidt)?

Ja


>  
> und noch eine Frage, wie bestimme ich jetzt die Matrix der
> Orthogonalprojektion? Ich weiß, dass ich kanonische
> Basisvektoren brauche..

Sei P die gesuchte Projektion, [mm] u_1,u_2 [/mm] eine Basis von U und [mm] u_3,u_4 [/mm] eine Basis von [mm] U^{\perp}. [/mm]

Dann gilt [mm] P(u_1)=u_1, P(u_2)=u_2 [/mm] und [mm] P(u_3)=P(u_4)=0 [/mm]

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Orthogonalprojektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Do 02.05.2013
Autor: Inocencia

Also ich habe mir jetzt eine Orthogonalbasis von [mm] U\perp [/mm] berechnet,

mein [mm] c1=\vektor{\bruch{4}{8} \\ \bruch{10}{8} \\ -1 \\ 0} [/mm]
mein [mm] c2=\vektor{37\\ -2 \\ 16 \\ -36}, [/mm] c1*c2=0, passt
(Frage: darf ich wenn ich Gram Schmidt anwende, die Vektoren vorher bzw. den Ergebnisvektor, kollinear machen?, weil ich wollte nicht mit Brüchen rechnen.....


aber fred97, ich verstehe jetzt leider trotzdem nicht wie ich diese Projektion machen muss :( könntest du das vieleicht etwas näher erläutern? Danke

Bezug
                                                        
Bezug
Orthogonalprojektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Do 02.05.2013
Autor: angela.h.b.


> Also ich habe mir jetzt eine Orthogonalbasis von [mm]U\perp[/mm]
> berechnet,

>

> mein [mm]c1=\vektor{\bruch{4}{8} \\ \bruch{10}{8} \\ -1 \\ 0}[/mm]

>

> mein [mm]c2=\vektor{37\\ -2 \\ 16 \\ -36},[/mm] c1*c2=0, passt
> (Frage: darf ich wenn ich Gram Schmidt anwende, die
> Vektoren vorher bzw. den Ergebnisvektor, kollinear machen?,
> weil ich wollte nicht mit Brüchen rechnen.....

Hallo,

Du willst jeden Vektor zuvor mit einem passenden Faktor multiplizieren?
Kannst Du machen.

>
>

> aber fred97, ich verstehe jetzt leider trotzdem nicht wie
> ich diese Projektion machen muss :( könntest du das
> vieleicht etwas näher erläutern? Danke

Du hast jetzt eine OGB  [mm] B':=(b_1, b_2) [/mm] von U und eine ONG [mm] B'':=(c_1, c_2) [/mm] von [mm] U^{\perp}. [/mm]
Zusammen bilden sie eine OGB [mm] B=(b_1, b_2, c_1, c_2) [/mm] vom [mm] \IR^4. [/mm]

Die Projektion p ist wie jede lineare Abbildung durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Bei der othogonalen Projektion auf den Unterraum U haben wir

[mm] p(b_1)=b_1, p(b_2)=b_2, p(c_1)=0, p(c_2)=0. [/mm]

Damit ist es leicht, die Darstellungsmatrix von p bzgl. der Basis B aufzustellen: in den Spalten stehen die Bilder der basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B.

Eine Basistransformation liefert Dir anschließend die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis E.

ODER

Du schreibst jeden Standardbasisvektor als Linearkombination der Vektoren von B, berechnest sein Bild und steckst das Ergebnis als Spalte in die Matrix.

LG Angela
 

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]