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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Do 10.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei [mm] (V,\Phi) [/mm] ein euklidischer Vektorraum der Dimension n und $ [mm] U,W\subseteq [/mm] V $ Untervektorräume.
Beweisen Sie folgende Gleichungen:
a) [mm] (U^{\perp})^\perp=U
[/mm]
b) [mm] (U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp
[/mm]
c) [mm] (U\cap W)^\perp=U^\perp+W^\perp [/mm] |
Hallo! Mit Bitte um Korrektur, falls ich irgendwo falsch liegen sollte:
Es gilt ja [mm] V=U\oplus U^\perp [/mm] also:
a) Sei $ [mm] x\in (U^{\perp})^\perp \gdw x\in (V\backslash U)^\perp \gdw x\in V\backslash (V\backslash [/mm] U) [mm] \gdw x\in [/mm] U $
b) Sei $ [mm] x\in (U+W)^\perp \gdw x\in V\backslash [/mm] (U+W) [mm] \gdw x\in V\backslash U\wedge x\in V\backslash [/mm] W [mm] \gdw x\in U^\perp \wedge x\in W^\perp \gdw x\in (U^\perp\cap W^\perp) [/mm] $
c) Hier habe ich anders herum angefangen: Sei [mm] $x\in (U^\perp [/mm] + [mm] W^\perp) \gdw x\in (V\backslash [/mm] U + [mm] V\backslash [/mm] W) [mm] \gdw x\in(V\backslash (U\cap [/mm] W) [mm] \gdw x\in (U\cap W)^\perp$
[/mm]
Alles nachvollziehbar so? Danke fürs drüberschauen!
Lieben Gruß
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Da hast Du gewaltig etwas in den falschen Hals bekommen !
Es ist zwar $ [mm] V=U\oplus U^\perp [/mm] $, aber das bedeuten nicht, dass [mm] U^\perp= [/mm] V \ U ist.
Ist z.B. V= [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] U=\{(x,0): x \in \IR\}, [/mm] so ist
[mm] U^\perp=\{(0,y): y \in \IR\}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 12.05.2012 | | Autor: | triad |
Hallo,
zu a) $ [mm] (U^{\perp})^\perp=U [/mm] $
Folgendes habe ich mir bereits überlegt:
[mm] (U^{\perp})^\perp=\{v\in V | \phi(u,v)=0 \; \forall \; u\in U^\perp \}
[/mm]
Außerdem: Sei [mm] u\in [/mm] U, [mm] u'\in U^\perp, u''\in (U^{\perp})^\perp, [/mm] dann gilt [mm] \phi(u,u')=0 [/mm] und [mm] \phi(u',u'')=0, [/mm] also ist $ [mm] u\perp [/mm] u' $ und $ [mm] u''\perp [/mm] u' $. Wenn also beide senkrecht zu u' sind, dann wäre es natürlich super, wenn man daraus folgern könnte, dass sie gleich sind.
Aber irgendwie komme ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Sa 12.05.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo.. ein Beweis dazu ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 8.
Warum da direkt folgt dass [mm] U\subseteq (U^\perp)^\perp [/mm] ist mir auch noch nicht ganz schlüssig.
Was ich mir noch überlegt habe:
Wenn $ [mm] \phi(u,u')=0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u' $ und $ [mm] \phi(u',u'')=0, [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u'' $ dann ist doch auch $ [mm] \phi(u'',u')=0, [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u' $ also:
$ [mm] \phi(u,u')=0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u' $
$ [mm] \phi(u'',u')=0, [/mm] \ [mm] \forall [/mm] u' $
Könnte man eigentlich $ u=u'' $ folgern, oder?
Gruß
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Sa 12.05.2012 | | Autor: | davux |
Es gibt zu Aufgabenteil a) auch in einigen Büchern Beweise. Zum Beispiel ist im Bosch "Lineare Algebra" auch einer. Ich habe auch einen in Schaum's Outline "Linear Algebra" gefunden.
Aber zunächst habe ich auch alles erstmal selbst ausprobiert. Ihr könnt euch doch sicher noch Erinnerung, wie man solche Gleichheiten für Mengen bewiesen habt. Man wählt sich ein Element aus der einen Seite, stellt gegebenenfalls zunächst die beschriebenen Beziehung auf dieser Seite noch etwas genauer dar, so dass man gegebenenfalls zwei Elemente hat, und ehe man sich versieht steht da, woraus sich klar die andere Seite folgern lässt.
Das ist hier in dem Fall garnicht so schwer. Schwierig ist vielleicht der Übergang von Durchschnitt auf Summe, wenn man es denn auf UND und ODER zurückgeführt hat, aber was bedeutet denn Summe von Vektorräumen?
Ob diese Dimensionsformel, die in chesns Link benutzt wird, schon bewiesen wurde, weiß ich nicht, aber man könnte [mm] $V=U\oplus U^{\perp}$ [/mm] ausnutzen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:33 So 13.05.2012 | | Autor: | triad |
> Hallo.. ein Beweis dazu
> hier
> auf Seite 8.
Dein Link funktioniert bei mir zwar, aber firefox zeigt mir nur eine weiße seite.
Wie man $ [mm] U=(U^\perp)^\perp [/mm] $ zeigt, weiss ich noch immer nicht.
Was bedeutet z.B. [mm] u\in (U^\perp)^\perp [/mm] oder (von Aufgabenteil c)) [mm] v\in(U\cap W)^\perp [/mm] , wie kann man das umformen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 15.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Mo 14.05.2012 | | Autor: | it123 |
Ich habe irgendwie Probleme die ii) zu beweisen:
Zeigen möchte ich es über eine doppelte Mengeninklusion:
Zuerst den Fall [mm] \subseteq:
[/mm]
Sei v [mm] \in (U+W)^\perp [/mm] und u [mm] \in [/mm] U. Da u=u+0 [mm] \in [/mm] U+W ist, gilt:
[mm] 0=\Phi(u+0,v)=\Phi(u,v). [/mm] Daraus müsste ja dann folgen, dass v [mm] \in U^\perp [/mm] ist. Dass v [mm] \in U^\perp \cap W^\perp [/mm] dann liegt, sehe ich gerade leider nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe irgendwie Probleme die ii) zu beweisen:
> Zeigen möchte ich es über eine doppelte
> Mengeninklusion:
>
> Zuerst den Fall [mm]\subseteq:[/mm]
> Sei v [mm]\in (U+W)^\perp[/mm] und u [mm]\in[/mm] U. Da u=u+0 [mm]\in[/mm] U+W ist,
> gilt:
> [mm]0=\Phi(u+0,v)=\Phi(u,v).[/mm] Daraus müsste ja dann folgen,
> dass v [mm]\in U^\perp[/mm] ist. Dass v [mm]\in U^\perp \cap W^\perp[/mm]
> dann liegt, sehe ich gerade leider nicht.
Sei v [mm] \in (U+W)^\perp. [/mm] Dann ist [mm] \phi(v,x)= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] U+W.
Weil U Teilmenge von U+W ist, folgt: [mm] \phi(v,u)= [/mm] 0 für alle u [mm] \in [/mm] U, also
(1) v [mm] \in U^\perp.
[/mm]
Weil W Teilmenge von U+W ist, folgt: [mm] \phi(v,w)= [/mm] 0 für alle w [mm] \in [/mm] w, also
(2) v [mm] \in W^\perp.
[/mm]
Aus (1) und (2) folgt:
v $ [mm] \in U^\perp \cap W^\perp [/mm] $
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:47 Mo 14.05.2012 | | Autor: | it123 |
Dann versuch ich mal die Rückrichtung:
Sei v [mm] \in U^\perp [/mm] cap [mm] W^\perp. [/mm]
Dann gilt für alle u [mm] \in [/mm] U: [mm] \Phi(u,v)=0 [/mm] und für alle w [mm] \in [/mm] W [mm] \Phi(w,v)=0.
[/mm]
Also:
[mm] 0=0+0=\Phi(u,v)+\Phi(w,v)=\Phi(u+w,v). [/mm] Da u+w [mm] \in [/mm] U+W ist, ist [mm] U^\perp [/mm] cap [mm] W^\perp \subseteq (U+W)^\perp
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mi 16.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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