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Orthonomalsystem, Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:33 Fr 23.04.2010
Autor: waruna

Aufgabe
Sei [mm] (x_{n}) [/mm] ein orthonormalsystem in H mit unendlich vielen Elementen. Zeigen Sie, dass fuer alle x [mm] \in [/mm] H: [mm] \to [/mm] 0. Pruefen Sie das im [mm] l^{2} [/mm] am Beispiel eines typischen ONS nach.

Ich habe versucht, das so zu machen:
Hilbertraum [mm] \Rightarrow [/mm] vollstaendig [mm] \Rightarrow [/mm] jede Cauchyfolge konvergiert, dh. zeigen, dass
fuer alle [mm] \varepsilon>0, [/mm] ex. [mm] n'(\varepsilon), [/mm] so dass
[mm] |-|<\varepsilon, [/mm] fuer alle n,m>n'. (*)
Dann irgendwie zeigen, dass gegen 0 konvergiert.
Um (*) zu beweisen, habe ich versucht [mm] [/mm] zu addieren (weil das Null ist) und ein bisschen damit zu spielen, leider ohne Erfolg.
Vielleich habe ich ueberhaupt schlechten Loesungsweg gewaehlt?  


        
Bezug
Orthonomalsystem, Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Mo 26.04.2010
Autor: fred97

Die Besselsche Ungleichung besagt:

          [mm] $\summe_{i=1}^{n}||^2 \le ||x||^2$ [/mm]  für jedes n [mm] \in \IN [/mm]

Insbesondere folgt, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}||^2 [/mm] konvergiert.

Und daraus folgt ?

FRED

Bezug
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