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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 11.04.2006 | | Autor: | Fahnder |
| Aufgabe | | Wir betrachten [mm] \IR³ [/mm] als euklidischen Vektorraum mit dem kanonischen Skalarprodukt und die Basis A={(1,1,1) , (1,-1,1) , (1,-1,-1)} von [mm] \IR³. [/mm] Berechnen Sie die Orthonormalbasis B von [mm] \IR³, [/mm] die aus A durch Anwendung des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens hervorgeht. |
Hallo, ich muss in den nächsten Tagen eine Übungsaufgabe abgeben. Ich habe sie zwar gerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob sie richtig ist, denn an einer Stelle weiss ich nicht genau, ob ich richtig gerechnet habe.
Also hier ist meine Lösung:
[mm] v_{1}= [/mm] (1,1,1)
Laut Vorlesung ist [mm] w_{1}= v_{1}/ \parallel v_{1} \parallel
[/mm]
also ist [mm] w_{1}= [/mm] (1,1,1)/ [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Danach rechnet man mit der Formel
[mm] w_{k+1}= (v_{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} w_{i})/ \parallel(v_{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} w_{i}) \parallel
[/mm]
Daher ist [mm] w_{2}= [/mm] (1,-1,1) - 1/ [mm] \wurzel{3}*(1/ \wurzel{3},1/ \wurzel{3},1/ \wurzel{3})/ \wurzel{ \bruch{8}{9}} [/mm] = ( [mm] \bruch{2}{3}, -\bruch{4}{3}, \bruch{2}{3})/ \wurzel{ \bruch{8}{9}}
[/mm]
Jetzt wusste ich nicht genau, ob man bei [mm] w_{3} [/mm] rechnet.
Dort habe ich jetzt bei der Summe das Skalarprodukt von [mm] w_{3} [/mm] und [mm] v_{1} [/mm] sowie das Skalarprodukt von w{3} und [mm] v_{2} [/mm] abgezogen und am Ende [mm] w_{3} [/mm] = (- [mm] \bruch{10}{81},- \bruch{236}{81}, -\bruch{172}{81})/ \wurzel{ \bruch{508}{6561}} [/mm] rausbekommen, allerdings ist es ein sehr komisches Ergebnis, da wir danach in weiteren Aufgaben die Transformationsmatrix erstellen sollen, glaube ich nicht, dass es richtig ist.
Vielleicht könnte jemand mal kurz drüber schauen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Fahnder
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Di 11.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Also hier ist meine Lösung:
> [mm]v_{1}=[/mm] (1,1,1)
> Laut Vorlesung ist [mm]w_{1}= v_{1}/ \parallel v_{1} \parallel[/mm]
> also ist [mm]w_{1}=[/mm] (1,1,1)/ [mm]\wurzel{3}[/mm]
genau - wir fangen mit einem beliebigen normierten Vektor an
> Danach rechnet man mit der Formel
> [mm]w_{k+1}= (v_{k+1}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{n} w_{i})/ \parallel(v_{k+1}[/mm]
> - [mm]\summe_{i=1}^{n} w_{i}) \parallel[/mm]
Sorry, da kann man nicht erkennen ob es richtig ist - aber wir wissen ja alle wie's geht:
[mm] $w'_{k+1}=v_{k+1}-\summe_{i=1}^{k} *w_{i}$
[/mm]
und dann ist [mm] $w_{k+1}=\bruch{w'_{k+1}}{\parallel w'_{k+1} \parallel}$
[/mm]
(klick mal auf die Formel um zu sehen, was man eingeben muss, damit es lesbar ist - ist auch nicht viel schwieriger  )
> Daher
> ist [mm]w_{2}=[/mm] (1,-1,1) - 1/ [mm]\wurzel{3}*(1/ \wurzel{3},1/ \wurzel{3},1/ \wurzel{3})/ \wurzel{ \bruch{8}{9}}[/mm]
> = ( [mm]\bruch{2}{3}, -\bruch{4}{3}, \bruch{2}{3})/ \wurzel{ \bruch{8}{9}}[/mm]
ich kann nichts erkennen, deshalb rechne ich auch mal:
[mm] $w'_2=\vektor{1\\-1\\1}-\bruch{1}{\wurzel{3}}*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{1-\wurzel{3}\\-1-\wurzel{3}\\1-\wurzel{3}}$
[/mm]
jetzt noch schnell den Betrag davon ausgerechnet mit einem Taschenrechner oder so überprüfen, und dann [mm] w_2 [/mm] nach obiger Formel ausrechnen, dann ist man fertig.
Bei [mm] w_3 [/mm] dann analog : zuerst w'_3 dann den Betrag, dann [mm] w_3 [/mm] ..
(Alles Schritte die du mit dem CAS deiner Wahl überprüfen lassen kannst)
zu deiner weiteren Aufgabe mit der TrafoMatrix : schau mal HIER
(die Vektoren waren aber offensichtlich falsch bestimmt !)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Di 11.04.2006 | | Autor: | Fahnder |
Hallo,
ich danke dir, dass es so schnell beantwortet worden ist. Ich habe es jetzt auch verstanden.
Fahnder
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