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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Orthonormalbasis
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Orthonormalbasis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 So 30.04.2006
Autor: shark4

Aufgabe
Finden Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren für
A =  [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2}. [/mm]

Die Eigenwerte und Eigenvektoren hab ich schon bestimmt:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 0, [mm] v_{1} [/mm] = (-1, 1, 1),
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 3, [mm] v_{2} [/mm] = (1, 1, 0),
[mm] \lambda_{3} [/mm] = 3, [mm] v_{3} [/mm] = (1, 0, 1).

Kann mir bitte jemand erklären wie ich von den EV zur Orthonormalbasis komme?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 So 30.04.2006
Autor: DaMenge

Hallo und [willkommenmr],

also Eigenvektoren von unterschiedlichen Eigenwerten sind ja schon orthogonal - die muss man später nur noch normalisieren.

Die beiden Eigenvektoren zum Eigenwert 3 sind aber noch nicht orthogonal.
Um aus diesen beiden Vektoren zwei orthogonale zu machen, musst du einfach nur das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren anwenden.

Schau mal bei wiki : []http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt

Wenn du dann drei Eigenvektoren hast, die orthogonal sind, dann musst du sie nur noch normalisieren (also durch ihren betrag teilen).

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:05 So 30.04.2006
Autor: shark4

Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Es hat mir sehr geholfen.

Bezug
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