Orthonormalbasis < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien [mm] \vec{e}_1 [/mm] und [mm] \vec{e}_2 [/mm] die kartesischen Einheitsvektoren in einer Ebene (d=2) und der Ortsvektor des Massepunktes durch
[mm] \vec{x}(t) [/mm] = [mm] R(t)cos(\phi(t))\vec{e}_1 [/mm] + [mm] R(t)sin(\phi(t))\vec{e}_2
[/mm]
gegeben.
1).
Zeigen sie, dass die beiden Vektoren
[mm] \tilde\vec{e}_1(t) [/mm] = [mm] cos(\phi(t))\vec{e}_1 [/mm] + [mm] sin(\phi(t))\vec{e}_2
[/mm]
[mm] \tilde\vec{e}_2(t) [/mm] = [mm] -sin(\phi(t))\vec{e}_1 [/mm] + [mm] cos(\phi(t))\vec{e}_2
[/mm]
ebenfalls eine Orthogonalbasis bilden. Welche geometrische Bedeutung haben diese Basisvektoren? |
ich weiß nicht wie ich das zeigen kann und wie ich generell anfange.
über hilfe würde ich mich sehr freuen :)
|
|
| |
|
Hallo OpitzHasser,
> Seien [mm]\vec{e}_1[/mm] und [mm]\vec{e}_2[/mm] die kartesischen
> Einheitsvektoren in einer Ebene (d=2) und der Ortsvektor
> des Massepunktes durch
> [mm]\vec{a}(t)[/mm] = [mm]R(t)cos(\phi(t))\vec{e}_1[/mm] +
> [mm]R(t)sin(\phi(t))\vec{e}_2[/mm]
> gegeben.
>
> 1).
> Zeigen sie, dass die beiden Vektoren
> [mm]\tilde\vec{e}_1(t)[/mm] = [mm]cos(\phi(t))\vec{e}_1[/mm] +
> [mm]sin(\phi(t))\vec{e}_2[/mm]
>
> [mm]\tilde\vec{e}_2(t)[/mm] = [mm]-sin(\phi(t))\vec{e}_1[/mm] +
> [mm]cos(\phi(t))\vec{e}_2[/mm]
>
> ebenfalls eine Orthogonalbasis bilden. Welche geometrische
> Bedeutung haben diese Basisvektoren?
> ich weiß nicht wie ich das zeigen kann und wie ich
> generell anfange.
>
Zeige zunächst, daß die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind.
Muss nachgewiesen werden, daß es sich um eine Orthonormalbasis handelt,
so müssen die beiden Vektoren den Betrag 1 haben.
> über hilfe würde ich mich sehr freuen :)
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
ich weiß, dass sie orthogonal sind, da sie die einheitsvektoren sind...aber wie zeige ich das denn?
|
|
|
| |
|
> ich weiß, dass sie orthogonal sind, da sie die
> einheitsvektoren sind...aber wie zeige ich das denn?
Hallo,
bisher weißt Du gar nichts, außer daß [mm] \vec{e_1} [/mm] und [mm] \vec{e_2} [/mm] orthogonal sind und die Länge 1 haben.
Die Orthogonalität der beiden fraglichen Vektoren weist Du nach, indem Du das Skalarprodukt der beiden bildest, und die Länge 1 rechne nach, indem Du jeden der Vektoren mit sich selbst multiplizierst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
danke, ich habe jetzt die orthogonalität nachgewiesen und bei den längen kam jeweils 1 raus. aber welche geometrische bedeutung haben die basisvektoren denn?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
antwort dazu, bzw Tip in meiner anderen antwort, mei(mein brqwser hatte mir die anderen A. nicht gezeigt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
damit sie eine Orthonormalbasis bilden, müssen sie
a) den Betrag 1 haben
b) orthogonal /=senkrecht) zueinander sein, d.h. ihr skalarprodukt muss 0 sein. also einfach nur nachprüfen.
für die Bedeutung zeichne die neue basis in die alte ein, bzw nimm einen beliebigen Vektor [mm] \vec{x} [/mm] und zeichne seine komponenten im einen und anderen system ein.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
wie zeichne ich die basisvektoren denn ein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Basisvektoren e1 und e2 zeigen in deinem normalen x-y Koordinatensystem in Richtung x und y Achse. Da zeichnest du jetzt die 2 neuen Vektoren ein!
Ihre "spitzen liegen auf dem Kreis mit Radius 1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ah jetzt ist es mir klar geworden :)
die basiswinkel e1 und e2 werden um den den nullpunkt mit dem winkel [mm] \phi [/mm] gedreht oder?
|
|
|
| |
|
Hallo OpitzHasser,
> ah jetzt ist es mir klar geworden :)
>
> die basiswinkel e1 und e2 werden um den den nullpunkt mit
> dem winkel [mm]\phi[/mm] gedreht oder?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
