Orthonormalbasis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 So 22.04.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Frage: Wie bestimmt man eine Orthonormalbasis eines zweisimensionalen Teilraums? |
Lerne grade für eine Prüfung, und verstehe nicht wie man so was macht!
Ich nehme mal an die linearkombination der beiden Funktionen ist [mm] f_1 [/mm] (x) =1 und [mm] f_2 [/mm] (x) = x bilden einen zweidimensionalen Teilraum des [mm] C([0,2\pi];\IC). [/mm] WIe kann man jetzt solch eine Orthogonalbasis dieses Teilraums bestimmen?
Skalarprodukt hatten wir in der Vorlesung:
<f,g> := [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] * [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] f(x) [mm] \overline{g(x)}dx
[/mm]
und [mm] \{e_k(x) = e^{ikx}, k \in \IZ\} [/mm] ist ein Orthogonalsystem in [mm] C([0,2\pi];\IC)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 ist schon normiert, also nimmst du 1 als eine Basis f1. jetz suchst du f2= a*x+b*1 und bestimmst a,b so dass <f1,f2>=0
dann musst du noch f2 normieren durch <f2,f2>=1
aber deine fkt liegen in R nicht in C
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 23.04.2012 | | Autor: | quasimo |
Ganz versteh ich das nicht.
> 1 ist schon normiert, also nimmst du 1 als eine Basis f1. jetz suchst du f2= a*x+b*1 und bestimmst a,b so dass <f1,f2>=0
Warum muss f2 genauso dargestellt werden? wenn f2 = x, dass ist doch a=1 und b=0.
Die Linearkombination der beiden beiden funktionne ist ax*b*1, Meintest du das?
Wenn wir im reellen sind können wir das komplex konjungierte ja weglassen.
<f,g> := $ [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] $ * $ [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] $ f(x) $ g(x)dx $
<1,x> = [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] $ * $ [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] 1*xdx
<1,x> = [mm] \frac{1}{2\pi} [/mm] * [mm] 2\pi^2
[/mm]
<1,x> = [mm] \pi
[/mm]
Ich schätze, das ist ganz falsch..
Kannst du mir das vlt. nochmal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst doch nicht irgend ein Basis, die hast du mit 1 und x da sie lin. unabhängig sind. sondern du suchst eine Orthonormalbasis, also eine, wo die 2 Basisvektoren orthogonal sind. Du hast mit deiner rechnung gerade festgestellt dass 1 und x mit dem gegebenen skalarprodukt nicht orthogonal sind. aber dein Unterraum enthät nur 1, x und alle Linearkombinationen davon. unter denen suchst du jetzt eine, die orth. zu 1 ist. was ist die bedungung für orthogonal?
wenn du einen UR des [mm] R^3 [/mm] hast mit den 2 vektoren (1,2,3) und (1,2,4) wie findest du da eine Orthonormalbasis?
ich hoffe das war nur ein Tipfehler
!Die Linearkombination der beiden beiden funktionne ist ax*b*1!
richtig ist ax+b*1
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 23.04.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo nochmal
Okay
0=<ax+b*1,1> = [mm] 1/2\pi [/mm] * [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] ax + b dx
= [mm] 1\2/pi [/mm] * ( [mm] \frac{a*4\pi^2}{2}+b*2\pi)
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] *a + b
[mm] 0=\pi*a [/mm] + b
kann ich jetzt a und b so wählen?
a= 1
b= - [mm] \pi
[/mm]
Linearkombination x* 1 - [mm] \pi [/mm] * 1, die normal zu 1 ist
Jetzt meintest du noch etwas mit nomieren.
|| x* 1 - [mm] \pi [/mm] * 1|| = [mm] \wurzel(
Muss ich jetzt das Skalarprodukt wie oben von dem ausrechnen, dann Wurzelziehen und dann
x*1 - [mm] \pi [/mm] durch die Norm dividieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a,b richtig. die Frage solltest du selbst beantworten können.
weil du ja weisst wann ein vektor die Öänge 1 hat
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mo 23.04.2012 | | Autor: | quasimo |
> dann musst du noch f2 normieren durch <f2,f2>=1
Ich habe nun die Linearkombination x* 1 - $ [mm] \pi [/mm] $ * 1, die normal zu 1 ist .
Nun müssen beide die Länge 1 haben. Die zweite Orthonormalbasis hat die Länge 1.
Jetzt muss ich doch [mm] x-\pi [/mm] durch seine Länge dividieren?
Die Länge eines reellen terms ist doch der Betrag des Terms, aber wie ist das bei funktionen?
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Hallo quasimo,
> > dann musst du noch f2 normieren durch <f2,f2>=1
>
> Ich habe nun die Linearkombination x* 1 - [mm]\pi[/mm] * 1, die
> normal zu 1 ist .
>
> Nun müssen beide die Länge 1 haben. Die zweite
> Orthonormalbasis hat die Länge 1.
>
> Jetzt muss ich doch [mm]x-\pi[/mm] durch seine Länge dividieren?
> Die Länge eines reellen terms ist doch der Betrag des
> Terms, aber wie ist das bei funktionen?
>
Die Länge rechnest Du mit Hilfe des definierten Skalarproduktes aus:
[mm] := \frac{1}{2\pi}* \int_0^{2\pi} \left(x-\pi\right)*\left(x-\pi\right) dx [/mm]
Dann ist die Länge die Wurzel daraus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 23.04.2012 | | Autor: | quasimo |
|| x* 1 - $ [mm] \pi [/mm] $ * 1|| = $ [mm] \wurzel{}(
Skalarprodukt wie oben von dem ausrechnen, dann Wurzelziehen und dann
x - $ [mm] \pi [/mm] $ durch die Norm dividieren.
Oder?
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Hallo quasimo,
> || x* 1 - [mm]\pi[/mm] * 1|| = [mm]\wurzel{}(
> >)
> Skalarprodukt wie oben von dem ausrechnen, dann
> Wurzelziehen und dann
> x - [mm]\pi[/mm] durch die Norm dividieren.
>
> Oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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