Orthonormalbasis, Darstellung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 14.10.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] B=(b_1 [/mm] ,.., [mm] b_n) [/mm] eine Orthonormalbasis eines endlich dimensionalen Euklidischen oder unitären Vektorraum V.
Dann gilt v = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] < [mm] b_i [/mm] , v> [mm] b_i
[/mm]
bzw.
[mm] [v]_B [/mm] = [mm] \vektor{\\ \vdots \\ } [/mm] |
Hallo,
Ich verstehe nicht, wieso diese Darstellung gilt!!
[mm] b_i \in [/mm] V , i [mm] \in [/mm] I heißt Orthogonalsystem fall [mm]
dh jedes [mm] b_i [/mm] normiert & paarweise orthgonal
B ist ein Ortonormalbasis von V wenn ein Othogonalsystem eine Basis bildet.
[mm] [v]_B [/mm] -- Darstellung von v unter der Basis B.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo quasimo,
> Sei [mm]B=(b_1[/mm] ,.., [mm]b_n)[/mm] eine Orthonormalbasis eines endlich
> dimensionalen Euklidischen oder unitären Vektorraum V.
> Dann gilt v = [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] < [mm]b_i[/mm] , v> [mm]b_i[/mm]
> bzw.
> [mm][v]_B[/mm] = [mm]\vektor{\\ \vdots \\ }[/mm]
> Hallo,
> Ich verstehe nicht, wieso diese Darstellung gilt!!
> [mm]b_i \in[/mm] V , i [mm]\in[/mm] I heißt Orthogonalsystem fall [mm]
> [mm]b_j[/mm] > = [mm]\delta_{ij}[/mm]
> dh jedes [mm]b_i[/mm] normiert & paarweise orthgonal
> B ist ein Ortonormalbasis von V wenn ein Othogonalsystem
> eine Basis bildet.
>
> [mm][v]_B[/mm] -- Darstellung von v unter der Basis B.
es ist doch mit [mm] $[v]_B=(v_1,...,v_n)^T_B$ ($T\,$: [/mm] transponiert!) dann
[mm] $$(\*)\;\;\;v=\sum_{\ell=1}^n v_\ell b_\ell\,,$$
[/mm]
daraus folgt doch unmittelbar
[mm] $$v_k=\sum_{\ell=1}^n v_\ell [/mm] < [mm] b_\ell,b_k>\;\;\text{ für }k=1,\ldots,n\,,$$
[/mm]
denn es ist ja [mm] $B\,$ [/mm] eine ONB!
(Ganz ausführlich kannst Du es so aufschreiben:
[mm] $v_k=\sum_{\ell=1}^n v_\ell\cdot \delta_{\ell,k}=...$ [/mm] .)
Jetzt nutzt Du die Eigenschaften des Skalarprodukts (Bilinearität), dann
folgt für jedes [mm] $k\in \{1,...,n\}$:
[/mm]
[mm] $$v_k=\Big\langle\;\;\;\sum_{\ell=1}^n v_\ell b_\ell,\;b_k\;\;\; \Big\rangle=\,,$$
[/mm]
weil wegen [mm] $[v]_B=(v_1,...,v_n)^T_B$ [/mm] ja [mm] $(\*)$ [/mm] gegolten hat.
Der Rest ist Symmetrie des Skalarprodukts, denn so sehen wir für jedes
$k [mm] \in \{1,...,n\}$
[/mm]
[mm] $$v_k==\,.$$
[/mm]
Das liefert die Darstellung [mm] $[v]_B$ [/mm] bzw. benutze das Ergebnis nun in
[mm] $(\*)$ [/mm] und es folgt
[mm] $$v=\sum_{\ell=1}^n v_\ell b_\ell=\sum_{\ell=1}^n \;b_\ell$$
[/mm]
P.S. Ich hatte oben eigentlich nur an euklidische Vektorräume gedacht -
evtl. musst Du bei unitären Räumen da noch "konjugiert komplexes" mit
"reinbauen". Dazu darfst Du Dir aber selbst Gedanken machen! 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 14.10.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Aber wieso folgt dann die Darstellung
$ [mm] [v]_B [/mm] $ = $ [mm] \vektor{\\ \vdots \\ } [/mm] $
daraus?
Liebe Grüße
und DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
> Hallo,
> Aber wieso folgt dann die Darstellung
> [mm][v]_B[/mm] = [mm]\vektor{\\ \vdots \\ }[/mm]
> daraus?
Jede Koordinate dieses Vektors gehört ja zum jeweiligen Basisvektor. D.h.
[mm][v]_B = \vektor{\\ \vdots \\ }= b_1+b_2+ \cdots b_n[/mm]
und wie man dazu kommt wurde ja schon gezeigt.
Gruß
Peter
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