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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Orthonormalbasis, LGS lösen
Orthonormalbasis, LGS lösen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthonormalbasis, LGS lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:31 Mo 24.05.2010
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Finden Sie eine Orthonornalbasis des folgenden linearen Teilraums von $\ [mm] \IR^3 [/mm] $ mit Standardskalarprodukt:

$\ U := [mm] \{ (x_1,x_2,x_3)^T : x_1+x_2+x_3 = 0\} [/mm] $

Hallo,

ich habe hier zunächst das Gleichungssystem gelöst:

$\ [mm] x_1+x_2+x_3 [/mm] = 0 $

$\ [mm] x_2 [/mm] = s, \ [mm] x_3 [/mm] = t $ und $\ [mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_2-x_3 [/mm] = -s-t $

Also

$\ [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ \IR \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} + \IR \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} \} [/mm] $

So, nun bin ich mir allerdings nicht sicher, was mir die Lösungsmenge alles an Informationen schenkt. Dazu ein paar grundsätzliche Fragen: Ist die Lösungsmenge denn eine Basis von $\ U $ ? Demnach wäre dim $\ U = 2 $. Doch die beiden Vektoren sind offensichtlich nicht orthogonal.

Falls die Dimension allerdings nicht 2, sondern 3 ist und mir das Gleichungssystem lediglich 2 linear unabhängige Vektoren ausgespuckt hat, kann ich ja durch einen 3. geeigneten Vektor das ganze zu einer (Orthonormal)basis erweitern.

Würde mich über Hinweise freuen.
Grüße
ChopSuey

        
Bezug
Orthonormalbasis, LGS lösen: Gram-Schmidtsches Orth.Verf.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:37 Mo 24.05.2010
Autor: ChopSuey

Moin,

ich sehe gerade, dass das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren die Antwort auf meine Frage ist.

Danke
Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
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