Orthonormalbasis bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mi 18.09.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Wir definieren eine positiv definite symmetrische Bilinearform [mm] \beta [/mm] : [mm] \IR^4 \times \IR^4 \to \IR [/mm] durch [mm] M_E(\beta)=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 }, [/mm] wobei E die Standardbasis von [mm] \IR^4 [/mm] ist.
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von [mm] \IR^4 [/mm] bzgl. [mm] \beta. [/mm] |
Hallo.
Also mir ist klar, dass man hier mit dem Gram-Schmidt'schem Orthogonalisierungsverfahren zum Ziel kommt. Nicht klar ist allerdings, woher ich weiß, welche Basis ich am Anfang zu wählen habe, denn mir wird hier ja keine vorgegeben. Hier ist die Musterlösung zur Aufgabe auf Seite 7: http://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/People/blottier/LA2_Musterloesung_Klausur.pdf
Ich verstehe nicht, warum einfach [mm] (e_1, e_3, e_4) [/mm] gewählt werden kann (undzwar auch noch in dieser Reihenfolge). Ich verstehe allgemein nicht, wie ich eine Basis bei einer solchen Aufgabenstellung zu wählen habe.
Ich hoffe, irgendjemand kann mir bei meinem Problem helfen. :)
|
|
| |
|
> Wir definieren eine positiv definite symmetrische
> Bilinearform [mm]\beta[/mm] : [mm]\IR^4 \times \IR^4 \to \IR[/mm] durch
> [mm]M_E(\beta)=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 },[/mm]
> wobei E die Standardbasis von [mm]\IR^4[/mm] ist.
> Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von [mm]\IR^4[/mm] bzgl. [mm]\beta.[/mm]
>
> Hallo.
>
> Also mir ist klar, dass man hier mit dem Gram-Schmidt'schem
> Orthogonalisierungsverfahren zum Ziel kommt. Nicht klar ist
> allerdings, woher ich weiß, welche Basis ich am Anfang zu
> wählen habe,
Hallo,
das ist völlig Dir selbst überlassen.
Du könntest die Standardbasis nehmen oder irgendeine andere, die Dir aus irgendwelchen Gründen gut gefällt.
Aus jeder Basis macht Dir das GS-Verfahren eine ONB.
> denn mir wird hier ja keine vorgegeben. Hier
> ist die Musterlösung zur Aufgabe auf Seite 7:
> http://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/People/blottier/LA2_Musterloesung_Klausur.pdf
> Ich verstehe nicht, warum einfach [mm](e_1, e_3, e_4)[/mm] gewählt
> werden kann (undzwar auch noch in dieser Reihenfolge).
Deine Chefs sind raffiniert:
sie erkennen an der Matrix, daß [mm] e_1, e_3, e_4 [/mm] paarweise orthogonal sind bzgl [mm] \beta.
[/mm]
(Es ist ja in der Matrix [mm] a_i_k=\beta(e_i,e_k).)
[/mm]
Und weil die Chefs zusätzlich ein bißchen faul sind, nehmen sie diese drei Vektoren gleich mal als die ersten drei Vektoren.
Sie machen ihnen nämlich kaum Mühe. Sie sind pw orthogonal, [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_4 [/mm] sind sogar normiert, so daß nur noch [mm] e_3 [/mm] zu normieren ist.
Naja, eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] besteht halt aus 4 Vektoren, und so ergänzen sie die bequemen drei noch durch [mm] e_1 [/mm] und starten das Verfahren.
Aber wie gesagt: Du kannst jede Basis nehmen, mußt halt damit rechnen, daß Du mehr rechnen mußt.
LG Angela
> Ich
> verstehe allgemein nicht, wie ich eine Basis bei einer
> solchen Aufgabenstellung zu wählen habe.
>
> Ich hoffe, irgendjemand kann mir bei meinem Problem helfen.
> :)
|
|
|
|
