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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Di 07.07.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Der Vektor mit den Koordinaten [mm] \left( \bruch{2}{3},\bruch{1}{3},\bruch{2}{3} \right) [/mm] soll zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden. Wie lauten die restlichen Vektoren? Gibt es mehrere Lösungen? Wie viele? |
Hallo Zusammen,
damit ich eine Orthonormalbasis erhalte muss folgendes erfüllt sein:
1. Vektoren senkrecht zueinander
2. Vektoren haben den Betrag 1
Nun ist doch nicht gefordert eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^3 [/mm] anzugeben, dann müssten es doch 3 Vektoren sein?
Wenn ich nur einen zweiten Vektor bestimme, wäre dies doch dann eine Orthonormalbasis eines Untervektorraumes des [mm] \IR^3?
[/mm]
Der angegebene Vektor ist schon normiert somit, benötige ich noch einen zweiten Vektor der senkrecht (Skalarprodukt = 0) dazu steht.
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] = 0
-> [mm] \bruch{2}{3}x+\bruch{1}{3}y+\bruch{2}{3}z=0
[/mm]
Dies ist zum Beispiel für folgende Werte erfüllt:
x = 0, y = 2, z = -1
x = 1, y = 0, z = 0
x = 3, y = 0, z = -3
Es gibt unendlich viele Lösungen dafür. Diese müssten im Anschluss noch normiert werden, z.B. für x = 0, y = 2, z = -1:
[mm] |$\vec [/mm] v$| = [mm] \wurzel{0²+2²+1²} [/mm] = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] \vec v_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wie soll man denn die Anzahl der Lösungen angeben?
Gruß
itse
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> Der Vektor mit den Koordinaten [mm]\left( \bruch{2}{3},\bruch{1}{3},\bruch{2}{3} \right)[/mm]
> soll zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden.
Hallo,
sinnvollerweise sollte hier schon angegeben sein, wovon eine ONB gesucht ist.
Ich denke: vom [mm] \IR^3.
[/mm]
Wie lauten
> die restlichen Vektoren? Gibt es mehrere Lösungen? Wie
> viele?
> Hallo Zusammen,
>
> damit ich eine Orthonormalbasis erhalte muss folgendes
> erfüllt sein:
>
> 1. Vektoren senkrecht zueinander
> 2. Vektoren haben den Betrag 1
Ja.
>
> Nun ist doch nicht gefordert eine Orthonormalbasis des
> [mm]\IR^3[/mm] anzugeben, dann müssten es doch 3 Vektoren sein?
Ja. dann muß man halt mit 2 Vektoren ergänzen.
> Wenn ich nur einen zweiten Vektor bestimme, wäre dies doch
> dann eine Orthonormalbasis eines Untervektorraumes des
> [mm]\IR^3?[/mm]
Ja. Die ONB einer Ebene durch den Ursprung.
>
> Der angegebene Vektor ist schon normiert somit, benötige
> ich noch einen zweiten Vektor der senkrecht (Skalarprodukt
> = 0) dazu steht.
Genau.
>
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm]
> = 0
>
> -> [mm]\bruch{2}{3}x+\bruch{1}{3}y+\bruch{2}{3}z=0[/mm]
>
> Dies ist zum Beispiel für folgende Werte erfüllt:
>
> x = 0, y = 2, z = -1
> x = 1, y = 0, z = 0
Der funktioniert nicht.
> x = 3, y = 0, z = -3
>
> Es gibt unendlich viele Lösungen dafür.
Ja.
> Diese müssten im
> Anschluss noch normiert werden,
Richtig.
Wenn Du nun eine ONB des [mm] \IR^3 [/mm] suchst, brauchst Du einen weiteren Einheitsvektor, der auf den beiden senkrecht steht. Du findest ihn z.B. mit dem Kreuzprodukt.
> z.B. für x = 0, y = 2, z =
> -1:
>
> |[mm]\vec v[/mm]| = [mm]\wurzel{0²+2²+1²}[/mm] = [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> [mm]\vec v_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} \cdot{} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Wie soll man denn die Anzahl der Lösungen angeben?
Es gibt unendlich viele.
Gruß v. Angela
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