Orthonormalbasis für Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 So 18.12.2011 | | Autor: | atseaa |
| Aufgabe | Wir betrachten den Voktorraum [mm] Pol_{3}\mathbb{R}\left\{ \sum_{j=0}^{3}\alpha_{j}X^{j}\mid\alpha_{j}\in\mathbb{R}\right\} [/mm] der rellen Polynome vom Grad höchstens 3 und das Skalarprodukt
[mm] \langle p|q\rangle=\frac{1}{2}\intop_{-1}^{1}p(x)q(x)dx
[/mm]
Bestimmen Sie aus der Basis [mm] B:1,X,X^{2},X^{3} [/mm] eine Orthonormalbasis F für den Vektorraum und geben Sie die Koordinaten _{F}r des Polynoms [mm] r(X)=3X^{2}+X+1an. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Howdy,
Ich habe ernste Probleme mit der Aufgabe. Weniger mit dem Rechnen, als dass mir der Ansatz fehlt bzw. ich mir nicht sicher bin.
Ich weiß, wie man bei (Basis)Vektoren die Normalbasis ausrechnet, nämlich den Vektor durch seine Länge, beziehungsweise die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst zu teilen.
Mein Ansatz ist deswegen dieser: Für Basis [mm] b_{1}=1 [/mm] ist das Skalarprodukt [mm] \langle1|1\rangle=\frac{1}{2}\intop_{-1}^{1}1\cdot1dx=\frac{1}{2}[X+c]_{-1}^{1}=\frac{1}{2}\cdot(1-(-1)=1 [/mm] und demzufolge seine Wurzel auch 1.
Also ist die normierte Basis [mm] b_{1_{0}}=\frac{b_{1}}{\sqrt{\langle b_{1}|b_{1}\rangle}}=\frac{1}{1}=1.
[/mm]
Bin ich da total auf dem Holzweg oder stimmt das? Wenn nein, bitte ich um alternative Möglichkeiten, da mir das Werkzeug anscheinend fehlt. :(
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Hallo atseaa,
> Wir betrachten den Voktorraum [mm]Pol_{3}\mathbb{R}\left\{ \sum_{j=0}^{3}\alpha_{j}X^{j}\mid\alpha_{j}\in\mathbb{R}\right\}[/mm]
> der rellen Polynome vom Grad höchstens 3 und das
> Skalarprodukt
>
> [mm]\langle p|q\rangle=\frac{1}{2}\intop_{-1}^{1}p(x)q(x)dx[/mm]
>
> Bestimmen Sie aus der Basis [mm]B:1,X,X^{2},X^{3}[/mm] eine
> Orthonormalbasis F für den Vektorraum und geben Sie die
> Koordinaten _{F}r des Polynoms [mm]r(X)=3X^{2}+X+1an.[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Howdy,
>
> Ich habe ernste Probleme mit der Aufgabe. Weniger mit dem
> Rechnen, als dass mir der Ansatz fehlt bzw. ich mir nicht
> sicher bin.
>
> Ich weiß, wie man bei (Basis)Vektoren die Normalbasis
> ausrechnet, nämlich den Vektor durch seine Länge,
> beziehungsweise die Wurzel des Skalarprodukts mit sich
> selbst zu teilen.
>
> Mein Ansatz ist deswegen dieser: Für Basis [mm]b_{1}=1[/mm] ist das
> Skalarprodukt
> [mm]\langle1|1\rangle=\frac{1}{2}\intop_{-1}^{1}1\cdot1dx=\frac{1}{2}[X+c]_{-1}^{1}=\frac{1}{2}\cdot(1-(-1)=1[/mm]
> und demzufolge seine Wurzel auch 1.
>
> Also ist die normierte Basis
> [mm]b_{1_{0}}=\frac{b_{1}}{\sqrt{\langle b_{1}|b_{1}\rangle}}=\frac{1}{1}=1.[/mm]
>
> Bin ich da total auf dem Holzweg oder stimmt das? Wenn
> nein, bitte ich um alternative Möglichkeiten, da mir das
> Werkzeug anscheinend fehlt. :(
>
Das ist das erste normierte Polynom. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 18.12.2011 | | Autor: | atseaa |
Super, dass das stimmt. Hab jetzt die normierte Basis und soll dazu noch das Koordinatentupel _{F}r mit [mm] r(x)=3x^{2}+x+1 [/mm] angeben.
Ist die Methode korrekt:
[mm] _{B}r=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
3\\
0\end{array}\right) [/mm] -> Neue Basis [mm] F:f_{1},f_{2},f_{3},f_{4} [/mm] -> Lösen des LGS [mm] a\cdot+\left(\begin{array}{c}
f_{1}\\
0\\
0\\
0\end{array}\right)b\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
f_{2}\\
0\\
0\end{array}\right)+c\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
f_{3}\\
0\end{array}\right)+d\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\\
f_{4}\end{array}\right)=_{B}r [/mm] wobei dann [mm] _{F}r=\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c\\
d\end{array}\right)
[/mm]
Sorry, dass es etwas umständlich aussieht, will hier aber nicht die Lösungen hinschreiben ;)))
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Hallo atseaa,
> Super, dass das stimmt. Hab jetzt die normierte Basis und
> soll dazu noch das Koordinatentupel _{F}r mit
> [mm]r(x)=3x^{2}+x+1[/mm] angeben.
>
> Ist die Methode korrekt:
>
> [mm]_{B}r=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
3\\
0\end{array}\right)[/mm] -> Neue Basis
> [mm]F:f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}[/mm] -> Lösen des LGS
> [mm]a\cdot+\left(\begin{array}{c}
f_{1}\\
0\\
0\\
0\end{array}\right)b\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
f_{2}\\
0\\
0\end{array}\right)+c\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
f_{3}\\
0\end{array}\right)+d\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\\
f_{4}\end{array}\right)=_{B}r[/mm]
> wobei dann [mm]_{F}r=\left(\begin{array}{c}
a\\
b\\
c\\
d\end{array}\right)[/mm]
>
>
> Sorry, dass es etwas umständlich aussieht, will hier aber
> nicht die Lösungen hinschreiben ;)))
Bevor Du das machen kannst,
ist erst eine ![[]](/images/popup.gif) Orthonormalbasis zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 So 18.12.2011 | | Autor: | atseaa |
Ist F nicht schon meine Orthonomalbasis? Ich habe ja die Basis B in meinem ersten Beitrag normiert und damit F rausbekommen.
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Hallo atseaa,
> Ist F nicht schon meine Orthonomalbasis? Ich habe ja die
Nein.
> Basis B in meinem ersten Beitrag normiert und damit F
> rausbekommen.
Du hast nur das Polynom [mm]b_{1}[/mm] normiert.
Wenn Du alle Polynome der gegebenen Basis normierst,
dann sind die zwar normiert, aber nicht notwendigerweise orthogonal.
Um eine Orhogonalbasis zu finden, verwendest Du am besten das
Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 So 18.12.2011 | | Autor: | atseaa |
Ah ok, das war mir nicht bewusst, ich dachte mit der Ausgangslage "Basis" wäre die Orthogonalität nach dem normieren gegessen, das gilt aber wohl nur für Vektorenbasen?
Wenn ich das habe ist meine Methode zur Bestimmung des Polynomkoordinaten bezüglich der neuen Basis aber doch richtig, oder? (siehe mein zweiter Beitrag)
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> Ah ok, das war mir nicht bewusst, ich dachte mit der
> Ausgangslage "Basis" wäre die Orthogonalität nach dem
> normieren gegessen, das gilt aber wohl nur für
> Vektorenbasen?
Hallo,
nein , das gilt auch nicht im [mm] \IR^n.
[/mm]
Es ist [mm] B:=(\vektor{1\\2},\vektor{3\\4}) [/mm] eine Basis vom [mm] \IR^2, [/mm] aqber auch wenn Du sie normierst ist sie doch nicht orthogonal!
>
> Wenn ich das habe ist meine Methode zur Bestimmung des
> Polynomkoordinaten bezüglich der neuen Basis aber doch
> richtig, oder? (siehe mein zweiter Beitrag)
Wenn Du die Basis [mm] F:=(f_1, f_2, f_3, f_4) [/mm] hast, dann schreibst Du
[mm] 3X^2+x+1 [/mm] als Linearkombination der [mm] f_i, [/mm] also
[mm] 3X^2+X+1=k_1f_1+k_2f_2+k_3f_3+k_4f_4.
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{k_1\\k_2\\k_3\\k_4} [/mm] ist dann der Koordinatenvektor von [mm] 3X^2+X+1 [/mm] bzgl. der Basis F.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Di 20.12.2011 | | Autor: | atseaa |
Danke, das war in meinem Kopf irgendwie nicht angekommen, aber klar, linear unabhängig ist nicht gleich orthogonal.
Danke für die Aufklärung :)
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