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Hallo zusammen. Sitz gerade vor folgender Aufgabe und weiß nicht so recht
wie man diese anpacken könnte.
Und zwar hat man eine Matrix A gegeben mit
A= [mm] \pmat{ 2&i&0\\-i&2&0\\0&0&2} [/mm]
Nun soll man eine Orthonormalbasis bzgl. des [mm] \IC^3 [/mm] angeben die orthogonal bezüglich der durch A gegebenen Hermiteschen Form ist.
Meine erste Frage ist nun was die mit der hermiteschen Form von A meinen. Einfach nur, dass A symetrisch bzw. hermitesch ist (da in [mm] \IC^3)? [/mm] Und zweitens wie kommt man auf geeignete Baisvektoren? Durch ausprobieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Larissa,
> Meine erste Frage ist nun was die mit der hermiteschen
> Form von A meinen. Einfach nur, dass A symetrisch bzw.
> hermitesch ist (da in [mm]\IC^3)?[/mm]
Ja. Deine Matrix $\ A $ ist komplex hermitesch, also ist sie ![[]](/images/popup.gif) normal. Das kannst du auch relativ schnell nachprüfen.
> Und zweitens wie kommt man
> auf geeignete Baisvektoren? Durch ausprobieren?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Aufgrund dessen, dass es sich um eine normale Matrix handelt, folgt schon, dass es in $ [mm] \IC^3 [/mm] $ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von$\ A $ gibt.
Überdies gilt, dass die Eigenvektoren von $ A $ zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
Sind Deine Eigenwerte hingegen nicht verschieden, kannst du die Basisvektoren mittels Gram-Schmidt-Verfahren zu einer Orthonormalbasis machen.
Viele Grüße
ChopSuey
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Vielen lieben Dank für deine Antwort.
Also muss man jetzt im ersten Schritt das charakteristische Polynom von
A die Eigenwerte und die dazugehörenden Eigenvektoren berechnen, oder?
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Hi Larissa,
> Vielen lieben Dank für deine Antwort.
> Also muss man jetzt im ersten Schritt das
> charakteristische Polynom von
> A die Eigenwerte und die dazugehörenden Eigenvektoren
> berechnen, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sind deine Eigenwerte alle verschieden, so kannst du sicher sein, dass deine Eigenvektoren orthogonal sind. Sind sie es nicht, kannst du, wie gesagt, die Eigenvektoren mittels Gram-Schmidt zu einer Orthonormalbasis machen.
Viele Grüße
ChopSuey
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Ok. Ich habe jetzt die Eigenwerte x=1, y=2, z=3
Zu x gehört nun der Eigenvektor (-i,1,0) zu y (0,0,1) und zu z (i,1,0) Das Problem ist nun dass nun das Skalarprodukt vom Eigenvektor zu x und dem von z nicht Null ergibt. Wenn ich jetzt anstatt (i,1,0) einfach [mm] (-\wurzel{2},\wurzel{2}i,0) [/mm] wähle so wären die Vektoren zwar orthogonal jedoch könnte ich sie nicht normalisieren da sich dann für den neu gewählten Vekor Null ergäbe. Weißt du was ich falsch gemacht habe?
larissa
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Hallo,
das Skalarprodukt ist auf [mm] \IC [/mm] durch hermitesche Adjunktion definiert (transponieren + komplex konjugieren; Ergebnisse habe ich nicht kontrolliert)
lg
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