Orthonormale Menge als Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man beweise, dass jede orthonormale Menge von n Vektoren in [mm] \IR^n [/mm] eine
Basis ist. |
Hallo
Aus orthonormal folgt ja sofort linear unabhängig. Was mir noch nicht ganz klar ist: man muss ja noch zeigen, dass die Menge ein Erzeugendensystem ist. Anschaulich ist das ja klar, weil die n Vektoren orthogonal sind hat man quasi jede Richtung des Rn abgedeckt und kann sich so jeden Vektor zusammenbasteln. Aber wie zwängt man dies in ein mathematisches Argument?
Gruss
Björn
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Hallo polar_baer,
> Man beweise, dass jede orthonormale Menge von n Vektoren in
> [mm]\IR^n[/mm] eine
> Basis ist.
> Hallo
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> Aus orthonormal folgt ja sofort linear unabhängig. Was mir
> noch nicht ganz klar ist: man muss ja noch zeigen, dass die
> Menge ein Erzeugendensystem ist. Anschaulich ist das ja
> klar, weil die n Vektoren orthogonal sind hat man quasi
> jede Richtung des Rn abgedeckt und kann sich so jeden
> Vektor zusammenbasteln. Aber wie zwängt man dies in ein
> mathematisches Argument?
Um zu zeigen daß diese n Vektoren des [mm]\IR^{n}[/mm] eine Basis bilden,
muß ja die lineare Unabhängigkeit erfüllt sein.
Seien [mm] v_{i} \in \IR^{n},\ 1 \le i \le n[/mm].
Dann muß gelten:
[mm]\alpha_{1}*v_{1} + \ \cdots \ + \alpha_{n}*v_{n}=0[/mm]
mit [mm]\alpha_{1}= \ \cdots \ = \alpha_{n}=0[/mm]
Wie zeigt man das?
Multipliziere die Gleichung für die lineare Unabhängigkeit skalar mit jedem [mm]v_{i}, \ 1 \le i \le n[/mm].
Nutze dann die Eigenschaft aus, daß die Menge dieser n Vektoren orthonormal ist.
>
> Gruss
>
> Björn
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort. Das ist aber nur die lineare Unabhängigkeit; wie zeigt man dann dass v1,...,vn auch ein Erzeugendensystem sind?
Gruss
Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 30.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] \IR^{n} [/mm] ist n-dimensional und du hast n linear unabhängige Vektoren, also bilden sie eine Basis.
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