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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei Vn [mm] \subseteq \IR[T] [/mm] der Untervektorraum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n. Zeigen Sie, dass durch <f,g>= [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t)g(t) dt}, [/mm] f, g [mm] \in [/mm] Vn, ein positiv definites Skalarprodukt auf Vn definiert ist.
Wenden Sie das Schmidtsche Orthonormalisierungverfahren auf die Basis 1, T, T2 an. |
Den ersten Teil der Aufgabe (das Skalarprodukt zeigen), habe ich gelöst und nun scheitere ich an am Orthonormalisierungverfahren. An sich verstehe ich es, habe auch bereits eine andere Aufgabe mit demselben gelöst aber hier klappt es einfach nicht. Zunächst habe ich versucht, die Basis zu orthogonalisieren, das normieren sollte folgen. Dann habe ich als erstes Element in meiner neuen (noch nicht normierten) Basis 1. Wenn ich nun versuche, T zu orthogonalisieren, bekomme ich 0 raus und das kann ja irgendwie nicht stimmen. Jetzt bin ich verwirrt und bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 So 24.06.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo insomniac279,
ich habe deine Aufgabe jetzt nicht gerechnet, aber soweit ich weiß geht man beim Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren von n Basisvektoren [mm] u_1...u_n [/mm] zu de ONB [mm] v_1...v_n [/mm] folgendermaßen vor:
1. Ersten Basisvektor [mm] u_1 [/mm] normieren [mm] \rightarrow v_1
[/mm]
2. den nächsten Basisvektor [mm] u_i [/mm] auf alle bisher berechneten orthogonalen Basisvektoren [mm] v_1 ...v_{i-1} [/mm] projeziern und die Projektionen von [mm] u_i [/mm] abziehen
3. Schritt 2 für alle Basisvektoren [mm] u_i [/mm] wiederholen
Also an deiner Stelle würde ich den Basisvektor 1 erstmal normieren und dann weiterrechnen, theoretisch müsste es dann klappen.
Gruß,
Vreni
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Hallo Sabine,
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei Vn [mm]\subseteq \IR[T][/mm] der
> Untervektorraum aller Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n. Zeigen Sie,
> dass durch <f,g>= [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t)g(t) dt},[/mm] f, g [mm]\in[/mm]
> Vn, ein positiv definites Skalarprodukt auf
> Vn definiert ist.
> Wenden Sie das Schmidtsche Orthonormalisierungverfahren
> auf die Basis 1, T, T2 an.
> Den ersten Teil der Aufgabe (das Skalarprodukt zeigen),
> habe ich gelöst und nun scheitere ich an am
> Orthonormalisierungverfahren. An sich verstehe ich es, habe
> auch bereits eine andere Aufgabe mit demselben gelöst aber
> hier klappt es einfach nicht. Zunächst habe ich versucht,
> die Basis zu orthogonalisieren, das normieren sollte
> folgen. Dann habe ich als erstes Element in meiner neuen
> (noch nicht normierten) Basis 1. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Wenn ich nun versuche, T
> zu orthogonalisieren, bekomme ich 0 raus ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und das kann ja
> irgendwie nicht stimmen. Jetzt bin ich verwirrt und bitte
> um Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Denke daran, dass du hier beim Gram-Schmidt-Algo das oben explizit definierte Skalarprodukt mit dem Integral für die Rechnungen verwenden musst.
Wenn du also den 2ten othogonalen Basisvektor berechnen willst, setze so an:
[mm] \{v_1,v_2,v_3\}=\{1,T,T^2\}
[/mm]
[mm] u_1:=v_1=1
[/mm]
[mm] $u_2:=v_2-\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\cdot{}u_1=T-\frac{\int\limits_{-1}^1{(T\cdot{}1)dT}}{\int\limits_{-1}^1{(1\cdot{}1)dT}}\cdot{}1=....=T-0=T$
[/mm]
Berechne dann [mm] v_3
[/mm]
Dann am Schluss noch normieren - auch bzgl. dieses Skalarproduktes(!!)
LG
schachuzipus
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Alles klar, genau da lag mein Problem wie ich sehe. Hätt man sich ja irgendwie denken können.. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") . Hab jetzt durchgerechnet und nachkontrolliert, hab's jetzt wohl richtig. Danke!
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