Orthonormalsystem zeigen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Di 18.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Für [mm] k = (k_1, ..., k_n) \in \mathbb Z^{n} \subset \mathbb R^{n} [/mm] und [mm] x = (x_1, ..., x_n) \in \mathbb R^{n} [/mm] schreiben wir [mm] \langle k,x \rangle = \summe_{ i = 1}^{n} k_i x_i [/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] e_{k}(x) = e^{2 \pi i \langle k,x \rangle } , k \in \mathbb Z^{n} [/mm] ein Orthonormalsystem in [mm]
L^2 ( \left[ 0,1 \right]^{n} ) [/mm] sind. |
Guten Abend alle zusammen!
Ich beschäftige mich seit heute Abend unter anderem mit dieser Aufgabe und würde erstmal gerne wissen, ob meine Gedanken bezüglich meiner Lösungsidee soweit richtig sind...
Ich möchte gerne diese Definition benutzen:
Es sei H ein Hilbert - Raum mit dem Skalarprodukt [mm] \langle \cdot, \cdot \rangle [/mm] . Eine Familie [mm] (e_j)_ { j \in I } [/mm] (I beliebige Indexmenge) von Elementen von H heißt ein Orthonormalsystem, falls
[mm] \langle e_j , e_k \rangle = \delta_{jk] [/mm] für alle [mm] j, k \in I [/mm]. Wobei das [mm] \delta_{kj} [/mm] das Kronecker - Delta ist.
Soweit ich aus der Vorlesung weiß, ist [mm] L^2 ( \left[ 0,1 \right]^{n} ) [/mm] ein Hilbertraum.
Also müsste ich doch nur zeigen, dass für
[mm] e_{k}(x) = e^{2 \pi i \langle k,x \rangle } , k \in \mathbb Z^{n} [/mm]
[mm] \langle e_j , e_k \rangle = 1 [/mm] für [mm] j = k [/mm]
und
[mm] \langle e_j , e_k \rangle = 0 [/mm] für [mm] j \ne k [/mm].
gilt.
Liege ich damit richtig?
Danke im Vorraus!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
| |
|
Hallo,
> Für [mm]k = (k_1, ..., k_n) \in \mathbb Z^{n} \subset \mathbb R^{n}[/mm]
> und [mm]x = (x_1, ..., x_n) \in \mathbb R^{n}[/mm] schreiben wir
> [mm]\langle k,x \rangle = \summe_{ i = 1}^{n} k_i x_i[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm]e_{k}(x) = e^{2 \pi i \langle k,x \rangle } , k \in \mathbb Z^{n}[/mm]
> ein Orthonormalsystem in [mm]
L^2 ( \left[ 0,1 \right]^{n} ) [/mm] sind.
> Guten Abend alle zusammen!
>
> Ich beschäftige mich seit heute Abend unter anderem mit
> dieser Aufgabe und würde erstmal gerne wissen, ob meine
> Gedanken bezüglich meiner Lösungsidee soweit richtig
> sind...
>
> Ich möchte gerne diese Definition benutzen:
>
> Es sei H ein Hilbert - Raum mit dem Skalarprodukt [mm]\langle \cdot, \cdot \rangle[/mm]
> . Eine Familie [mm](e_j)_ { j \in I }[/mm] (I beliebige Indexmenge)
> von Elementen von H heißt ein Orthonormalsystem, falls
> [mm]\langle e_j , e_k \rangle = \delta_{jk][/mm] für alle [mm]j, k \in I [/mm].
> Wobei das [mm]\delta_{kj}[/mm] das Kronecker - Delta ist.
>
>
> Soweit ich aus der Vorlesung weiß, ist [mm]L^2 ( \left[ 0,1 \right]^{n} ) [/mm]
> ein Hilbertraum.
> Also müsste ich doch nur zeigen, dass für
>
> [mm]e_{k}(x) = e^{2 \pi i \langle k,x \rangle } , k \in \mathbb Z^{n}[/mm]
>
>
> [mm]\langle e_j , e_k \rangle = 1[/mm] für [mm]j = k[/mm]
>
> und
>
> [mm]\langle e_j , e_k \rangle = 0[/mm] für [mm]j \ne k [/mm].
>
> gilt.
>
> Liege ich damit richtig?
>
> Danke im Vorraus!
>
damit liegst du richtig und damit faengt die eigentliche arbeit erst an! 
gruss
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:54 Di 18.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo wieder!
Das ist schon mal positiv, dass ich den richtigen Ansatz verfolge...
Wenn ich das nun konkret formal zeigen soll, gehe folgender maßen vor:
( Zwischenfrage: Mein Raum ist ja hier [mm] \left[0,1 \right]^{n} [/mm] über den ich integriere.. Was muss ich den am Ende des Integrals schreiben, dx , d [mm] \mu [/mm] ? )
Sei [mm] j=k [/mm]. Dann gilt
[mm] \langle e_j,e_k \rangle = \langle e^{2 \pi i \langle j,x \rangle}, e^{2 \pi i \langle k,x \rangle } \rangle =
\integral_{ \left[0,1 \right]^{n} } e^{2 \pi i \langle j,x \rangle} \cdot \overline {e^{2 \pi i \langle k,x \rangle } } =\integral_{ \left[0,1 \right]^{n} } e^ {2 pi i \summe_{i = 1}^{n} j_i x_i } \cdot \overline { e^{ 2 \pi i \summe_{i = 1 }^{n} k_i x_i } } = [/mm]
Da j = k ist , folgt
[mm] = \integral_{ \left[0,1 \right]^{n} } \left | e^{ 2 \pi i \summe_{i = 1 }^{n} k_i x_i } \right|^{2} = [/mm]
Meiner Meinung nach integrieren wir hier überso eine Art Einheitskreisscheibe , oder?
Dann , falls die stimmt, würde weiter folgen
[mm] = \integral_{ \left[0,1 \right]^{n} } 1 = 1 [/mm]
Stimmt das so einigermaßen vom Sinn her? Falls das o.k ist, wie schreibe ich das formal richtig auf mit dx ... ? Muss ich irgendwie, da ich über einem n-dimensionalen Teilraum integriere, das in der Rechnung besonders hervorheben?
Den Fall für j ungleich k bin ich noch nicht soweit gekommen... Irgendwie muss ich partiell integrieren, aber es ist kmplizoert.. Gibt es einen anderen einfacheren Weg?
Viele Grüße
Irmchen
Hallo zum Zweiten  !
Ich habe weiter gerechnet, aber komme nicht weiter für den Fall [mm] j \ne k [/mm]
Also, sei [mm] j \ne k [/mm].
Dann ist
[mm] \langle e_j,e_k \rangle = \langle e^{2 \pi i \langle j,x \rangle}, e^{2 \pi i \langle k,x \rangle } \rangle =
\integral_{ \left[0,1 \right]^{n} } e^{2 \pi i \langle j,x \rangle} \cdot \overline {e^{2 \pi i \langle k,x \rangle } } =\integral_{ \left[0,1 \right]^{n} } e^ {2 \pi i \summe_{i = 1}^{n} j_i x_i } \cdot \overline { e^{ 2 \pi i \summe_{i = 1 }^{n} k_i x_i } } = \integral_{ \left[0,1 \right]^{n} } e^{ 2 \pi i \summe_{i = 1}^{n} j_i x_i - 2 \pi i \summe_{i = 1 }^{n} k_i x_i } = \integral_{ \left[0,1 \right]^{n} } e^{ 2 \pi i ( \summe_{i = 1}^{n} j_i x_i - \summe_{i = 1 }^{n} k_i x_i ) } = .... [/mm]
Jetzt komm ich wieder nicht weiter... Ich merke gerade, dass man bei der Summe am besten nicht i laufen lassen sollte, da das i schon für den Imaginärteil steht... Man sieht jetzt nur nochmal deutlich, dass für den Fall [mm] j = k [/mm] die Summen sich zu 0 addieren und wir somit dann insgesamt über 1 addieren und somit auch als Endergebnis 1 herauskommt....
Aber das hilft mir bei dem 2. Fall leider nicht... Wie soll ich denn weitermachen und zeigen, dass bei dem Integral dann 0 herauskommt? :-(
Vielen Dank im Vorraus!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 11:18 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Ich bin leider immernoch nicht weiter gekommen in diesem zweiten Fall :-(. Ich habe mir auch Gedanken darüber gemacht, wie das aussieht, wenn [mm] j < k [/mm] und wenn [mm] j > k [/mm] ist... Dann habe ich oben in der Summe einmal einen positiven Term und einmal einen negativen Term stehen, aber das bringt mich leider auch nicht zum Ziel .... Ich muss es irgendwie schaffen , dass oben in der Summe was recht großes Negatives herauskommt , damit die Exponentialfunktion insgesamt gegen Null läuft ... Aber wie? Muss ich denn irgendeine Konvergenz betrachten? Soll ich n gegen Unendlich laufen lassen und dann irgendwie den Limes ins Integral ziehen? Aber mit welcher Berechtigung ?
Bitte um Hilfe!!!
Viele Dank!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 20.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich habe eine Idee zu deiser Aufgabe, weiß aber nicht, ob ich das so formal machen darf. Es wäre nett, wenn ich eine Rückmeldung diesbezüglich bekommen könnte.
Also, ich bin rechnrisch soweit gekommen
[mm] ... \integral_{ \left[ 0,1 \right]^{n} } e^{ 2 \pi i ( \summe_{m = 1}^{n} j_m x_m - \summe_{m = 1 }^{n} k_m x_m ) } = ... [/mm]
In der Vorlesung haben wir das für eine Dimension gezeigt, sprich, wir haben gezeigt, dass die Funktion [mm] e_k (x) = e^{ 2 \pi i k x } : \left[ 0,1 \right] \to \mathbb C [/mm] ein Orthonormalsystem für [mm] L^2( \left[ 0,1 \right] ) [/mm] bildet.
Und zwar ging der Beweis folgendermaßen:
[mm] \langle e_k,e_l \rangle = \integral_0^1e_k(x) \overline{ e_l(x) } dx = \integral_0^1 e_{k-l}(x) dx = \begin{cases}
1, & \text{wenn } k = l \\
0, & \text{wenn } k \ne l
\end{cases}
[/mm]
Meine Idee ( Frage ) ist die folgende:
Darf ich erst über die eine Dimension integrieren und dann über die restlichen ( n-1 ) - Dimensionen ? Denn falls ja, könnt ich auch den 2. Fall zeigen..
Sprich:
[mm] ... \integral_{ \left[ 0,1 \right]^{n} } e^{ 2 \pi i ( \summe_{m = 1}^{n} j_m x_m - \summe_{m = 1 }^{n} k_m x_m ) } = \integral_{ \left[ 0,1 \right]^{n -1 } } e^{ 2 \pi i ( \summe_{m = 1}^{n - 1} j_m x_m - \summe_{m = 1 }^{n -1 } k_m x_m ) } ( \integral_0^1 e^{ 2 \pi i ( j - k ) } dx ) d \mu [/mm]
Ist das falsch?
Weil so weiß ich, dass das innere Integral für k ungleich j Null ergibt und dann natürlich auch das komplette Integral..
Falls das richtig wäre, mit welchem Satz darf ich das begründen, Fubini?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 20.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Meine Idee ( Frage ) ist die folgende:
> Darf ich erst über die eine Dimension integrieren und dann
> über die restlichen ( n-1 ) - Dimensionen ? Denn falls ja,
> könnt ich auch den 2. Fall zeigen..
Ja darfst du.
> Sprich:
>
> [mm]... \integral_{ \left[ 0,1 \right]^{n} } e^{ 2 \pi i ( \summe_{m = 1}^{n} j_m x_m - \summe_{m = 1 }^{n} k_m x_m ) } = \integral_{ \left[ 0,1 \right]^{n -1 } } e^{ 2 \pi i ( \summe_{m = 1}^{n - 1} j_m x_m - \summe_{m = 1 }^{n -1 } k_m x_m ) } ( \integral_0^1 e^{ 2 \pi i ( j - k ) } dx ) d \mu[/mm]
>
> Ist das falsch?
> Weil so weiß ich, dass das innere Integral für k ungleich
> j Null ergibt und dann natürlich auch das komplette
> Integral..
>
> Falls das richtig wäre, mit welchem Satz darf ich das
> begründen, Fubini?
Ja.
Der Integrationsbereich ist ein n-dimensionaler Würfel mit Kantenlänge 1, also von endlichem Maß. Der Integrand ist messbar und beschränkt, damit sind die Voraussetzungen erfüllt.
Du darfst daher das Integral in das Produkt n eindimensionaler Integrale zerlegen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 20.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich wollte mich nur nochmal für die Hilfe bedanken!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 24.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 23.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
